Номер 373, страница 91 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

373. Докажите, что прямая $x + y = 5$ является касательной к окружности $(x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 8$, и найдите координаты точки касания.

Для того чтобы доказать, что прямая является касательной к окружности, и найти координаты точки касания, необходимо найти точки их пересечения. Прямая является касательной к окружности, если они имеют ровно одну общую точку.

Для этого решим систему уравнений:

$\begin{cases} x + y = 5 \\ (x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 8 \end{cases}$

Из первого уравнения выразим $y$ через $x$:

$y = 5 - x$

Подставим это выражение для $y$ во второе уравнение системы:

$(x - 3)^2 + ((5 - x) + 2)^2 = 8$

Упростим выражение в скобках:

$(x - 3)^2 + (7 - x)^2 = 8$

Раскроем скобки, используя формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:

$(x^2 - 6x + 9) + (49 - 14x + x^2) = 8$

Приведем подобные слагаемые:

$2x^2 - 20x + 58 = 8$

Перенесем 8 в левую часть уравнения:

$2x^2 - 20x + 50 = 0$

Разделим все уравнение на 2 для упрощения:

$x^2 - 10x + 25 = 0$

Мы получили квадратное уравнение. Количество его решений соответствует количеству точек пересечения прямой и окружности. Найдем дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 25 = 100 - 100 = 0$

Так как дискриминант равен нулю ($D=0$), квадратное уравнение имеет ровно один действительный корень. Это означает, что прямая и окружность имеют только одну общую точку пересечения. Следовательно, прямая $x + y = 5$ является касательной к окружности $(x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 8$.

Теперь найдем координаты точки касания. Для этого решим уравнение $x^2 - 10x + 25 = 0$. Это уравнение является полным квадратом:

$(x - 5)^2 = 0$

Отсюда находим корень:

$x - 5 = 0 \implies x = 5$

Подставим найденное значение $x$ в уравнение прямой $y = 5 - x$, чтобы найти соответствующее значение $y$:

$y = 5 - 5 = 0$

Таким образом, координаты точки касания — $(5, 0)$.

Ответ: Доказано, что прямая является касательной, так как система уравнений прямой и окружности имеет единственное решение. Координаты точки касания: $(5, 0)$.