Номер 378, страница 91 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

378. Составьте уравнение геометрического места центров окружностей, проходящих через точки $A (1;-7)$ и $B (-3;5)$.

Геометрическое место центров окружностей, проходящих через две заданные точки $A$ и $B$, представляет собой серединный перпендикуляр к отрезку $AB$. Каждая точка этого перпендикуляра равноудалена от точек $A$ и $B$.

Пусть $C(x; y)$ — произвольная точка искомого геометрического места, то есть центр окружности. Тогда расстояние от $C$ до $A$ должно быть равно расстоянию от $C$ до $B$. Запишем это условие в виде равенства квадратов расстояний, чтобы избежать использования квадратных корней: $CA^2 = CB^2$.

Координаты данных точек: $A(1; -7)$ и $B(-3; 5)$.

Квадрат расстояния $CA^2$ вычисляется по формуле:

$CA^2 = (x - 1)^2 + (y - (-7))^2 = (x - 1)^2 + (y + 7)^2$

Квадрат расстояния $CB^2$ вычисляется по формуле:

$CB^2 = (x - (-3))^2 + (y - 5)^2 = (x + 3)^2 + (y - 5)^2$

Приравняем эти два выражения:

$(x - 1)^2 + (y + 7)^2 = (x + 3)^2 + (y - 5)^2$

Раскроем скобки, используя формулы квадрата разности и квадрата суммы:

$x^2 - 2x + 1 + y^2 + 14y + 49 = x^2 + 6x + 9 + y^2 - 10y + 25$

Упростим уравнение, сократив $x^2$ и $y^2$ в обеих частях:

$-2x + 14y + 50 = 6x - 10y + 34$

Соберем все члены с переменными в одной части, а свободные члены — в другой:

$50 - 34 = 6x + 2x - 10y - 14y$

$16 = 8x - 24y$

Для упрощения разделим обе части уравнения на 8:

$2 = x - 3y$

Запишем уравнение в общем виде $Ax + By + C = 0$:

$x - 3y - 2 = 0$

Ответ: $x - 3y - 2 = 0$.