Номер 383, страница 91 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

383. Составьте уравнение геометрического места центров окружностей, радиус которых равен 5 и которые отсекают на оси абсцисс хорду длиной 6.

Пусть центр окружности, принадлежащей искомому геометрическому месту точек, имеет координаты $(x, y)$. Мы ищем уравнение, связывающее координаты $x$ и $y$.

Согласно условию задачи, радиус каждой такой окружности равен $R = 5$. Также известно, что окружность отсекает на оси абсцисс (оси $Ox$) хорду длиной 6.

Рассмотрим треугольник, вершинами которого являются центр окружности $C(x, y)$ и концы хорды, лежащие на оси $Ox$. Обозначим концы хорды как $A$ и $B$. Треугольник $ACB$ является равнобедренным, так как $AC = BC = R = 5$.

Проведем из центра $C$ перпендикуляр $CM$ к хорде $AB$ (и, следовательно, к оси $Ox$). Длина этого перпендикуляра равна расстоянию от точки $C(x, y)$ до оси $Ox$, то есть $|y|$. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также медианой, поэтому она делит хорду пополам. Длина отрезка $AM$ (половина хорды) равна $6 / 2 = 3$.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $AMC$. Его гипотенуза — это радиус $AC = R = 5$, а катеты — это $AM = 3$ и $CM = |y|$.

По теореме Пифагора:

$CM^2 + AM^2 = AC^2$

Подставим известные значения:

$|y|^2 + 3^2 = 5^2$

$y^2 + 9 = 25$

Решим уравнение относительно $y$:

$y^2 = 25 - 9$

$y^2 = 16$

Отсюда $y = \pm 4$.

Это уравнение не зависит от координаты $x$, что означает, что абсцисса центра окружности может быть любой. Таким образом, геометрическое место центров окружностей представляет собой две прямые, параллельные оси абсцисс: $y = 4$ и $y = -4$. Эти два уравнения можно записать в виде одного.

Ответ: $y^2 - 16 = 0$.