Номер 381, страница 91 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

381. Найдите координаты точки, равноудаленной от осей координат и от точки $B (-4; 2)$.

Пусть искомая точка имеет координаты $M(x; y)$.

Условие "точка равноудалена от осей координат" означает, что расстояние от точки $M$ до оси $Ox$ равно расстоянию от точки $M$ до оси $Oy$. Расстояние от точки $M(x; y)$ до оси $Ox$ равно $|y|$, а до оси $Oy$ — $|x|$. Таким образом, мы получаем первое уравнение:
$|x| = |y|$.
Это равенство возможно в двух случаях:
1) $y = x$ (точки лежат на биссектрисе I и III координатных четвертей).
2) $y = -x$ (точки лежат на биссектрисе II и IV координатных четвертей).

Условие "точка равноудалена ... и от точки $B(-4; 2)$" означает, что расстояние от точки $M$ до точки $B$ равно расстоянию от точки $M$ до осей координат. Обозначим это расстояние как $d$. Тогда $d = MB$ и $d = |x| = |y|$.
Следовательно, $MB = |x|$.

Квадрат расстояния между точками $M(x; y)$ и $B(-4; 2)$ равен:
$MB^2 = (x - (-4))^2 + (y - 2)^2 = (x+4)^2 + (y-2)^2$.
Так как $MB = |x|$, то $MB^2 = |x|^2 = x^2$.
Получаем второе уравнение:
$(x+4)^2 + (y-2)^2 = x^2$.

Теперь необходимо решить систему уравнений, рассмотрев два случая для $y$.

Случай 1: $y = x$
Подставим $y = x$ во второе уравнение:
$(x+4)^2 + (x-2)^2 = x^2$
Раскроем скобки, используя формулы квадрата суммы и квадрата разности:
$(x^2 + 8x + 16) + (x^2 - 4x + 4) = x^2$
Приведем подобные слагаемые:
$2x^2 + 4x + 20 = x^2$
$x^2 + 4x + 20 = 0$
Найдем дискриминант $D$ этого квадратного уравнения:
$D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 20 = 16 - 80 = -64$.
Поскольку $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней. Значит, на прямой $y=x$ нет точек, удовлетворяющих условию задачи.

Случай 2: $y = -x$
Подставим $y = -x$ во второе уравнение:
$(x+4)^2 + (-x-2)^2 = x^2$
Заметим, что $(-x-2)^2 = (-(x+2))^2 = (x+2)^2$. Уравнение принимает вид:
$(x+4)^2 + (x+2)^2 = x^2$
Раскроем скобки:
$(x^2 + 8x + 16) + (x^2 + 4x + 4) = x^2$
Приведем подобные слагаемые:
$2x^2 + 12x + 20 = x^2$
$x^2 + 12x + 20 = 0$
Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна $-12$, а их произведение равно $20$. Легко подобрать корни:
$x_1 = -10$
$x_2 = -2$
Теперь найдем соответствующие значения $y$ по формуле $y = -x$:
При $x_1 = -10$, $y_1 = -(-10) = 10$. Координаты первой точки: $(-10; 10)$.
При $x_2 = -2$, $y_2 = -(-2) = 2$. Координаты второй точки: $(-2; 2)$.

Таким образом, существуют две точки, удовлетворяющие заданным условиям.
Ответ: $(-10; 10)$ и $(-2; 2)$.