Номер 382, страница 91 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

382. Составьте уравнение окружности, проходящей через точки $A (2; 0)$ и $B (4; 0)$, центр которой принадлежит прямой $2x + 3y = 18$.

Общее уравнение окружности имеет вид: $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2$, где $(x_0; y_0)$ — координаты центра окружности, а $R$ — ее радиус. Для решения задачи нам необходимо найти $x_0$, $y_0$ и $R^2$.

1. Нахождение координат центра окружности.

Центр окружности равноудален от любых двух точек на ней. Следовательно, центр должен лежать на серединном перпендикуляре к отрезку, соединяющему точки $A(2; 0)$ и $B(4; 0)$.

Найдем координаты середины отрезка $AB$: $x_{ср} = \frac{2 + 4}{2} = 3$
$y_{ср} = \frac{0 + 0}{2} = 0$

Так как точки $A$ и $B$ лежат на оси $Ox$, отрезок $AB$ горизонтален. Серединный перпендикуляр к нему — это вертикальная прямая, проходящая через середину отрезка. Уравнение этой прямой: $x = 3$.

Таким образом, абсцисса центра окружности $x_0 = 3$.

По условию, центр окружности $(x_0; y_0)$ принадлежит прямой $2x + 3y = 18$. Подставим найденное значение $x_0 = 3$ в уравнение прямой, чтобы найти $y_0$:
$2 \cdot 3 + 3y_0 = 18$
$6 + 3y_0 = 18$
$3y_0 = 18 - 6$
$3y_0 = 12$
$y_0 = 4$

Итак, центр окружности находится в точке $O(3; 4)$.

2. Нахождение радиуса окружности.

Радиус окружности $R$ — это расстояние от центра до любой точки на окружности, например, до точки $A(2; 0)$. Найдем квадрат радиуса, используя формулу расстояния между двумя точками:
$R^2 = (x_A - x_0)^2 + (y_A - y_0)^2 = (2 - 3)^2 + (0 - 4)^2 = (-1)^2 + (-4)^2 = 1 + 16 = 17$.

3. Составление уравнения окружности.

Подставим найденные координаты центра $(x_0; y_0) = (3; 4)$ и квадрат радиуса $R^2=17$ в общее уравнение окружности:
$(x - 3)^2 + (y - 4)^2 = 17$.

Ответ: $(x - 3)^2 + (y - 4)^2 = 17$.