Номер 3, страница 94 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

3. Что называют угловым коэффициентом прямой?

Угловым коэффициентом прямой называют числовой коэффициент $k$ в уравнении прямой, записанном в виде $y = kx + b$. Этот коэффициент характеризует наклон прямой по отношению к положительному направлению оси абсцисс (оси Ox) и показывает, насколько быстро изменяется переменная $y$ относительно переменной $x$.

Геометрический смысл:
Угловой коэффициент равен тангенсу угла $\alpha$, который прямая образует с положительным направлением оси абсцисс. Угол $\alpha$ отсчитывается против часовой стрелки.
$k = \text{tg}(\alpha)$

Алгебраический смысл:
Если известны координаты двух любых точек прямой, $A(x_1; y_1)$ и $B(x_2; y_2)$, то угловой коэффициент можно найти как отношение приращения ординаты ($\Delta y$) к приращению абсциссы ($\Delta x$):
$k = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$

Влияние значения $k$ на график прямой:

• Если $k > 0$, то прямая возрастает (идёт вверх слева направо), и угол наклона $\alpha$ является острым ($0^\circ < \alpha < 90^\circ$).
• Если $k < 0$, то прямая убывает (идёт вниз слева направо), и угол наклона $\alpha$ является тупым ($90^\circ < \alpha < 180^\circ$).
• Если $k = 0$, то прямая горизонтальна (параллельна оси Ox), и угол наклона $\alpha = 0^\circ$. Уравнение такой прямой имеет вид $y = b$.
• Для вертикальной прямой (параллельной оси Oy) понятие углового коэффициента не определено, так как её угол наклона равен $90^\circ$, а $\text{tg}(90^\circ)$ не существует. Уравнение такой прямой имеет вид $x = a$.

Ответ: Угловым коэффициентом прямой называют коэффициент $k$ в уравнении $y = kx + b$, который показывает наклон прямой и численно равен тангенсу угла, образованного этой прямой с положительным направлением оси абсцисс.