Страница 94 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

3. Что называют угловым коэффициентом прямой?

Угловым коэффициентом прямой называют числовой коэффициент $k$ в уравнении прямой, записанном в виде $y = kx + b$. Этот коэффициент характеризует наклон прямой по отношению к положительному направлению оси абсцисс (оси Ox) и показывает, насколько быстро изменяется переменная $y$ относительно переменной $x$.

Геометрический смысл:
Угловой коэффициент равен тангенсу угла $\alpha$, который прямая образует с положительным направлением оси абсцисс. Угол $\alpha$ отсчитывается против часовой стрелки.
$k = \text{tg}(\alpha)$

Алгебраический смысл:
Если известны координаты двух любых точек прямой, $A(x_1; y_1)$ и $B(x_2; y_2)$, то угловой коэффициент можно найти как отношение приращения ординаты ($\Delta y$) к приращению абсциссы ($\Delta x$):
$k = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$

Влияние значения $k$ на график прямой:

• Если $k > 0$, то прямая возрастает (идёт вверх слева направо), и угол наклона $\alpha$ является острым ($0^\circ < \alpha < 90^\circ$).
• Если $k < 0$, то прямая убывает (идёт вниз слева направо), и угол наклона $\alpha$ является тупым ($90^\circ < \alpha < 180^\circ$).
• Если $k = 0$, то прямая горизонтальна (параллельна оси Ox), и угол наклона $\alpha = 0^\circ$. Уравнение такой прямой имеет вид $y = b$.
• Для вертикальной прямой (параллельной оси Oy) понятие углового коэффициента не определено, так как её угол наклона равен $90^\circ$, а $\text{tg}(90^\circ)$ не существует. Уравнение такой прямой имеет вид $x = a$.

Ответ: Угловым коэффициентом прямой называют коэффициент $k$ в уравнении $y = kx + b$, который показывает наклон прямой и численно равен тангенсу угла, образованного этой прямой с положительным направлением оси абсцисс.

4. Как связаны угловой коэффициент прямой и угол между прямой и положительным направлением оси абсцисс?

4. Угловой коэффициент прямой и угол, который эта прямая образует с положительным направлением оси абсцисс, связаны друг с другом через тригонометрическую функцию тангенс. Эта связь представляет собой геометрический смысл углового коэффициента.

Угловой коэффициент, обычно обозначаемый как $k$, является числовой характеристикой наклона прямой. Он присутствует в уравнении прямой вида $y = kx + b$.

Угол наклона прямой, обозначаемый как $\alpha$, — это угол, измеряемый в направлении против часовой стрелки от положительного направления оси абсцисс (оси Ox) до самой прямой. Для прямых, непараллельных оси ординат, этот угол находится в диапазоне $0 \le \alpha < 180^\circ$ (или $0 \le \alpha < \pi$), причем $\alpha \neq 90^\circ$.

Фундаментальная формула, связывающая угловой коэффициент $k$ и угол наклона $\alpha$, выглядит следующим образом:

$k = \tan(\alpha)$

Обоснование:
Рассмотрим прямую, непараллельную осям координат. Выберем на ней две различные точки $A(x_1, y_1)$ и $B(x_2, y_2)$. По определению, угловой коэффициент $k$ равен отношению приращения ординаты ($\Delta y$) к приращению абсциссы ($\Delta x$):$k = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$

Теперь построим прямоугольный треугольник, в котором отрезок $AB$ является гипотенузой, а катеты параллельны осям координат. Длина катета, прилежащего к углу $\alpha$, равна $x_2 - x_1$, а длина противолежащего катета — $y_2 - y_1$. Угол наклона прямой $\alpha$ равен углу, образованному гипотенузой $AB$ и горизонтальным катетом.

Из определения тангенса в прямоугольном треугольнике мы знаем, что тангенс угла равен отношению противолежащего катета к прилежащему:

$\tan(\alpha) = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$

Сравнивая два полученных выражения, мы видим, что они равны. Следовательно, $k = \tan(\alpha)$.

Анализ этой зависимости:

• Если прямая "возрастает" (идет вверх слева направо), то угол наклона $\alpha$ является острым ($0^\circ < \alpha < 90^\circ$). Тангенс острого угла положителен, поэтому и угловой коэффициент $k > 0$.
• Если прямая "убывает" (идет вниз слева направо), то угол наклона $\alpha$ является тупым ($90^\circ < \alpha < 180^\circ$). Тангенс тупого угла отрицателен, поэтому и угловой коэффициент $k < 0$.
• Если прямая горизонтальна и параллельна оси Ox, то ее угол наклона $\alpha = 0^\circ$. В этом случае $k = \tan(0^\circ) = 0$.
• Если прямая вертикальна и параллельна оси Oy, то ее угол наклона $\alpha = 90^\circ$. Тангенс угла $90^\circ$ не определен, поэтому для вертикальной прямой понятие углового коэффициента не применяется.

Таким образом, зная угол наклона прямой, можно однозначно определить ее угловой коэффициент, и наоборот (с учетом области значений арктангенса).

Ответ: Угловой коэффициент прямой $k$ равен тангенсу угла наклона $\alpha$, который прямая образует с положительным направлением оси абсцисс. Эта зависимость выражается формулой $k = \tan(\alpha)$.

5. Сформулируйте необходимое и достаточное условие параллельности двух невертикальных прямых на координатной плоскости.

Необходимое и достаточное условие параллельности двух невертикальных прямых на координатной плоскости формулируется через их угловые коэффициенты.

Любую невертикальную прямую на координатной плоскости можно задать уравнением вида $y = kx + b$, где $k$ — угловой коэффициент (тангенс угла наклона прямой к положительному направлению оси абсцисс), а $b$ — ордината точки пересечения прямой с осью ординат.

Рассмотрим две невертикальные прямые $l_1$ и $l_2$, заданные уравнениями:

$l_1: y = k_1x + b_1$

$l_2: y = k_2x + b_2$

Формулировка условия: Две невертикальные прямые на координатной плоскости параллельны тогда и только тогда, когда их угловые коэффициенты равны.

В виде формулы это записывается так: $l_1 \parallel l_2 \iff k_1 = k_2$.

Доказательство

Доказательство состоит из двух частей: необходимости и достаточности.

Необходимость

Докажем, что если две невертикальные прямые параллельны, то их угловые коэффициенты равны.Пусть прямые $l_1$ и $l_2$ параллельны. Это означает, что они либо не пересекаются, либо совпадают. Докажем от противного, что $k_1=k_2$. Предположим, что $k_1 \neq k_2$.Чтобы найти точки пересечения прямых, решим систему уравнений:$ \begin{cases} y = k_1x + b_1 \\ y = k_2x + b_2 \end{cases} $Приравняв правые части уравнений, получим:$k_1x + b_1 = k_2x + b_2$Сгруппируем слагаемые:$(k_1 - k_2)x = b_2 - b_1$Так как мы предположили, что $k_1 \neq k_2$, то $k_1 - k_2 \neq 0$. Значит, мы можем найти единственное решение для $x$:$x = \frac{b_2 - b_1}{k_1 - k_2}$Подставив это значение $x$ в любое из исходных уравнений, мы найдем единственное значение $y$. Это означает, что система имеет единственное решение, то есть прямые пересекаются в одной точке. Это противоречит нашему исходному условию, что прямые параллельны (не пересекаются или совпадают).Следовательно, наше предположение ($k_1 \neq k_2$) было неверным. Значит, если прямые параллельны, то их угловые коэффициенты равны: $k_1 = k_2$.

Достаточность

Докажем, что если угловые коэффициенты двух невертикальных прямых равны, то эти прямые параллельны.Пусть $k_1 = k_2$. Снова рассмотрим систему уравнений для нахождения общих точек:$ \begin{cases} y = k_1x + b_1 \\ y = k_2x + b_2 \end{cases} $Так как $k_1 = k_2$, приравняем правые части:$k_1x + b_1 = k_1x + b_2$$b_1 = b_2$Здесь возможны два случая:

1. Если $b_1 = b_2$, то мы получаем верное тождество, которое не зависит от $x$. Это означает, что уравнения прямых $l_1$ и $l_2$ полностью совпадают ($y = k_1x + b_1$). Следовательно, прямые совпадают. Совпадающие прямые являются частным случаем параллельных прямых.
2. Если $b_1 \neq b_2$, то мы получаем неверное равенство. Это означает, что система уравнений не имеет решений. Следовательно, у прямых нет общих точек, то есть они не пересекаются. По определению, непересекающиеся прямые на плоскости параллельны.

Таким образом, в обоих случаях, если $k_1 = k_2$, прямые $l_1$ и $l_2$ параллельны.

Ответ: Необходимым и достаточным условием параллельности двух невертикальных прямых, заданных уравнениями $y = k_1x + b_1$ и $y = k_2x + b_2$, является равенство их угловых коэффициентов: $k_1 = k_2$.

387. Чему равен угловой коэффициент прямой:

1) $y = 2x - 7;$

2) $y = -3x;$

3) $y = x + 10;$

4) $y = 5 - x;$

5) $y = 4;$

6) $3x - 2y = 4?$

Угловой коэффициент прямой, заданной уравнением вида $y = kx + b$, — это коэффициент $k$. Чтобы найти угловой коэффициент, нужно привести уравнение прямой к этому виду.

1) Уравнение $y = 2x - 7$ уже представлено в виде $y = kx + b$.

Здесь коэффициент при $x$ равен 2.

Ответ: 2

2) Уравнение $y = -3x$ представлено в виде $y = kx + b$, где $b=0$.

Здесь коэффициент при $x$ равен -3.

Ответ: -3

3) Уравнение $y = x + 10$ можно записать как $y = 1 \cdot x + 10$.

Здесь коэффициент при $x$ равен 1.

Ответ: 1

4) Уравнение $y = 5 - x$ перепишем в стандартном виде: $y = -x + 5$ или $y = (-1) \cdot x + 5$.

Здесь коэффициент при $x$ равен -1.

Ответ: -1

5) Уравнение $y = 4$ можно записать как $y = 0 \cdot x + 4$. Это уравнение горизонтальной прямой.

Здесь коэффициент при $x$ равен 0.

Ответ: 0

6) Дано уравнение $3x - 2y = 4$. Чтобы найти угловой коэффициент, выразим $y$:

$-2y = 4 - 3x$

$y = \frac{4 - 3x}{-2}$

$y = \frac{4}{-2} + \frac{-3x}{-2}$

$y = -2 + \frac{3}{2}x$

Приведём к стандартному виду $y = kx + b$:

$y = \frac{3}{2}x - 2$

Здесь коэффициент при $x$ равен $\frac{3}{2}$.

Ответ: $\frac{3}{2}$

388. Какие из прямых $y = 6x - 5$, $y = 0.6x + 1$, $y = \frac{3}{5}x + 4$, $y = 2 - 6x$ и $y = 600 + 0.6x$ параллельны?

Условие параллельности двух прямых на плоскости заключается в равенстве их угловых коэффициентов. Уравнение прямой в общем виде записывается как $y = kx + b$, где $k$ является угловым коэффициентом. Чтобы определить, какие из данных прямых параллельны, необходимо найти угловой коэффициент для каждой из них.

1. Прямая $y = 6x - 5$.
Это уравнение уже представлено в стандартном виде. Угловой коэффициент $k_1 = 6$.

2. Прямая $y = 0,6x + 1$.
Уравнение представлено в стандартном виде. Угловой коэффициент $k_2 = 0,6$.

3. Прямая $y = \frac{3}{5}x + 4$.
Для удобства сравнения преобразуем обыкновенную дробь в десятичную: $\frac{3}{5} = 0,6$.
Уравнение прямой: $y = 0,6x + 4$. Угловой коэффициент $k_3 = 0,6$.

4. Прямая $y = 2 - 6x$.
Приведем уравнение к стандартному виду $y = kx + b$, поменяв слагаемые местами: $y = -6x + 2$.
Угловой коэффициент $k_4 = -6$.

5. Прямая $y = 600 + 0,6x$.
Приведем уравнение к стандартному виду: $y = 0,6x + 600$.
Угловой коэффициент $k_5 = 0,6$.

Теперь сравним все найденные угловые коэффициенты:
$k_1 = 6$
$k_2 = 0,6$
$k_3 = 0,6$
$k_4 = -6$
$k_5 = 0,6$

Мы видим, что угловые коэффициенты равны у трех прямых: $k_2 = k_3 = k_5 = 0,6$. Коэффициенты $b$ у этих прямых (1, 4 и 600) различны, значит, прямые не совпадают. Следовательно, прямые $y = 0,6x + 1$, $y = \frac{3}{5}x + 4$ и $y = 600 + 0,6x$ параллельны друг другу.

Ответ: параллельными являются прямые $y = 0,6x + 1$, $y = \frac{3}{5}x + 4$ и $y = 600 + 0,6x$.

389. Какое число надо поставить вместо звёздочки, чтобы прямые были параллельными:

1) $y = 8x - 14$ и $y = *x + 2;

2) $y = *x - 1$ и $y = 3 - 4x?$

Для того чтобы две прямые, заданные уравнениями в виде $y = kx + b$ (уравнение с угловым коэффициентом), были параллельны, их угловые коэффициенты (числа, стоящие перед $x$) должны быть равны, а свободные члены (числа без $x$) — различны. Условие параллельности для прямых $y = k_1x + b_1$ и $y = k_2x + b_2$ выглядит так: $k_1 = k_2$ и $b_1 \neq b_2$.

1) Даны уравнения прямых: $y = 8x - 14$ и $y = *x + 2$.
Угловой коэффициент первой прямой $k_1 = 8$.
Угловой коэффициент второй прямой $k_2 = *$.
Приравниваем угловые коэффициенты, чтобы прямые были параллельны:
$k_1 = k_2$
$8 = *$
Свободные члены $-14$ и $2$ не равны, поэтому прямые не совпадают.
Ответ: 8.

2) Даны уравнения прямых: $y = *x - 1$ и $y = 3 - 4x$.
Сначала приведем второе уравнение к стандартному виду $y = kx + b$, поменяв местами слагаемые: $y = -4x + 3$.
Угловой коэффициент первой прямой $k_1 = *$.
Угловой коэффициент второй прямой $k_2 = -4$.
Приравниваем угловые коэффициенты для выполнения условия параллельности:
$k_1 = k_2$
$* = -4$
Свободные члены $-1$ и $3$ не равны, поэтому прямые не совпадают.
Ответ: -4.

390. Найдите уравнение прямой, проходящей через начало координат и параллельной прямой:

1) $y = 14x - 11;$

2) $y = -1,15x + 2.$

Общий вид уравнения прямой — $y = kx + b$, где $k$ — это угловой коэффициент (наклон), а $b$ — ордината точки пересечения прямой с осью y.

Условием параллельности двух прямых $y = k_1x + b_1$ и $y = k_2x + b_2$ является равенство их угловых коэффициентов: $k_1 = k_2$.

Прямая проходит через начало координат, то есть через точку $(0, 0)$, если ее уравнение обращается в верное равенство при подстановке $x=0$ и $y=0$. Подставим эти значения в общее уравнение прямой:

$0 = k \cdot 0 + b$

Отсюда следует, что $b = 0$. Таким образом, уравнение любой прямой, проходящей через начало координат, имеет вид $y = kx$.

Для решения задачи нам необходимо для каждой данной прямой определить ее угловой коэффициент $k$ и записать уравнение искомой прямой в виде $y=kx$.

1)

Дано уравнение прямой $y = 14x - 11$.

Угловой коэффициент этой прямой равен $k = 14$.

Искомая прямая должна быть параллельна данной, следовательно, ее угловой коэффициент также должен быть равен 14.

Поскольку искомая прямая проходит через начало координат, ее свободный член $b$ равен 0. Таким образом, уравнение искомой прямой имеет вид $y = 14x$.

Ответ: $y = 14x$.

2)

Дано уравнение прямой $y = -1,15x + 2$.

Угловой коэффициент этой прямой равен $k = -1,15$.

Так как искомая прямая параллельна данной, ее угловой коэффициент также равен -1,15.

Так как искомая прямая проходит через начало координат, ее уравнение имеет вид $y = kx$. Подставляем найденное значение $k$.

Получаем уравнение $y = -1,15x$.

Ответ: $y = -1,15x$.

391. Составьте уравнение прямой, проходящей через точку $A(-3; 7)$, угловой коэффициент которой равен:

1) $4$;

2) $-3$;

3) $0$.

Для составления уравнения прямой, проходящей через заданную точку $A(x_0, y_0)$ и имеющей заданный угловой коэффициент $k$, используется формула уравнения прямой с угловым коэффициентом, проходящей через данную точку: $y - y_0 = k(x - x_0)$.

В данном случае, нам дана точка $A(-3; 7)$, следовательно, $x_0 = -3$ и $y_0 = 7$. Мы подставим эти значения и заданные угловые коэффициенты в формулу для каждого случая.

1) Угловой коэффициент $k = 4$.
Подставляем значения $x_0 = -3$, $y_0 = 7$ и $k = 4$ в формулу:
$y - 7 = 4(x - (-3))$
Раскрываем скобки и упрощаем выражение:
$y - 7 = 4(x + 3)$
$y - 7 = 4x + 12$
Переносим $-7$ в правую часть уравнения, чтобы выразить $y$:
$y = 4x + 12 + 7$
$y = 4x + 19$
Ответ: $y = 4x + 19$.

2) Угловой коэффициент $k = -3$.
Подставляем значения $x_0 = -3$, $y_0 = 7$ и $k = -3$ в формулу:
$y - 7 = -3(x - (-3))$
Раскрываем скобки и упрощаем выражение:
$y - 7 = -3(x + 3)$
$y - 7 = -3x - 9$
Переносим $-7$ в правую часть уравнения:
$y = -3x - 9 + 7$
$y = -3x - 2$
Ответ: $y = -3x - 2$.

3) Угловой коэффициент $k = 0$.
Подставляем значения $x_0 = -3$, $y_0 = 7$ и $k = 0$ в формулу:
$y - 7 = 0 \cdot (x - (-3))$
Упрощаем правую часть уравнения:
$y - 7 = 0 \cdot (x + 3)$
$y - 7 = 0$
Переносим $-7$ в правую часть уравнения:
$y = 7$
Это уравнение горизонтальной прямой, проходящей через все точки с ординатой 7, включая точку $A(-3; 7)$.
Ответ: $y = 7$.

392. Составьте уравнение прямой, проходящей через точку $B (2; -5)$, угловой коэффициент которой равен $-0,5$.

Общий вид уравнения прямой с угловым коэффициентом: $y = kx + b$, где $k$ — это угловой коэффициент, а $b$ — коэффициент сдвига по оси $y$.

Из условия задачи нам известны:
- точка, через которую проходит прямая: $B(2; -5)$. Это означает, что при $x = 2$, $y = -5$.
- угловой коэффициент прямой: $k = -0,5$.

Подставим известное значение углового коэффициента $k$ в общее уравнение прямой:
$y = -0,5x + b$

Теперь, чтобы найти коэффициент $b$, подставим координаты точки $B(2; -5)$ в полученное уравнение:
$-5 = -0,5 \cdot 2 + b$

Выполним вычисления и найдем $b$:
$-5 = -1 + b$
$b = -5 + 1$
$b = -4$

Теперь, зная оба коэффициента ($k = -0,5$ и $b = -4$), мы можем составить итоговое уравнение прямой:
$y = -0,5x - 4$

Ответ: $y = -0,5x - 4$

393. Составьте уравнение прямой, проходящей через точку $M (-1; 9)$ и параллельной прямой:

1) $y = -7x + 3$;

2) $3x - 4y = -8$.

1)

Две прямые параллельны, если их угловые коэффициенты равны. Уравнение прямой вида $y = kx + b$ называется уравнением с угловым коэффициентом, где $k$ — это и есть угловой коэффициент.

Угловой коэффициент данной прямой $y = -7x + 3$ равен $k = -7$. Так как искомая прямая параллельна данной, ее угловой коэффициент также равен $k = -7$.

Теперь воспользуемся уравнением прямой, проходящей через точку $(x_0; y_0)$ с известным угловым коэффициентом $k$: $y - y_0 = k(x - x_0)$. Подставим в это уравнение координаты точки $M(-1; 9)$ (то есть $x_0 = -1$, $y_0 = 9$) и значение углового коэффициента $k = -7$:
$y - 9 = -7(x - (-1))$
$y - 9 = -7(x + 1)$
$y - 9 = -7x - 7$
$y = -7x - 7 + 9$
$y = -7x + 2$

Ответ: $y = -7x + 2$

2)

Сначала найдем угловой коэффициент данной прямой $3x - 4y = -8$. Для этого преобразуем уравнение к виду $y = kx + b$, выразив $y$:
$-4y = -3x - 8$
Разделим обе части на -4:
$y = \frac{-3}{-4}x + \frac{-8}{-4}$
$y = \frac{3}{4}x + 2$

Угловой коэффициент этой прямой $k = \frac{3}{4}$. Поскольку искомая прямая параллельна данной, ее угловой коэффициент также равен $k = \frac{3}{4}$.

Теперь составим уравнение прямой, проходящей через точку $M(-1; 9)$ с угловым коэффициентом $k = \frac{3}{4}$, используя формулу $y - y_0 = k(x - x_0)$:
$y - 9 = \frac{3}{4}(x - (-1))$
$y - 9 = \frac{3}{4}(x + 1)$
$y - 9 = \frac{3}{4}x + \frac{3}{4}$
$y = \frac{3}{4}x + \frac{3}{4} + 9$
$y = \frac{3}{4}x + \frac{3}{4} + \frac{36}{4}$
$y = \frac{3}{4}x + \frac{39}{4}$
Это уравнение можно также представить в общем виде $Ax + By + C = 0$, умножив обе части на 4:
$4y = 3x + 39$
$3x - 4y + 39 = 0$

Ответ: $y = \frac{3}{4}x + \frac{39}{4}$

394. Составьте уравнение прямой, проходящей через точку $K \left( -\frac{1}{3}; 10 \right)$ и параллельной прямой:

1) $y = 9x - 16$

2) $6x + 2y = 7$

Для того чтобы составить уравнение прямой, проходящей через заданную точку и параллельной другой прямой, нужно использовать тот факт, что у параллельных прямых одинаковые угловые коэффициенты.

Уравнение прямой в общем виде: $y = kx + b$, где $k$ — угловой коэффициент.

Искомая прямая проходит через точку $K(-\frac{1}{3}; 10)$.

1)

Дана прямая $y = 9x - 16$.

Угловой коэффициент этой прямой $k_1 = 9$.

Поскольку искомая прямая параллельна данной, её угловой коэффициент $k$ также будет равен 9. Таким образом, уравнение искомой прямой имеет вид $y = 9x + b$.

Чтобы найти значение $b$, подставим координаты точки $K(-\frac{1}{3}; 10)$ в уравнение прямой, так как точка $K$ принадлежит этой прямой:

$10 = 9 \cdot (-\frac{1}{3}) + b$

$10 = -3 + b$

$b = 10 + 3$

$b = 13$

Итак, искомое уравнение прямой: $y = 9x + 13$.

Ответ: $y = 9x + 13$

2)

Дана прямая $6x + 2y = 7$.

Сначала выразим $y$ через $x$, чтобы найти угловой коэффициент. Перепишем уравнение в виде $y = kx + b$:

$2y = -6x + 7$

$y = \frac{-6x + 7}{2}$

$y = -3x + 3.5$

Угловой коэффициент этой прямой $k_1 = -3$.

Так как искомая прямая параллельна данной, её угловой коэффициент $k$ также равен -3. Уравнение искомой прямой имеет вид $y = -3x + b$.

Подставим координаты точки $K(-\frac{1}{3}; 10)$ в это уравнение, чтобы найти $b$:

$10 = -3 \cdot (-\frac{1}{3}) + b$

$10 = 1 + b$

$b = 10 - 1$

$b = 9$

Итак, искомое уравнение прямой: $y = -3x + 9$.

Ответ: $y = -3x + 9$

395. Составьте уравнение прямой, которая проходит через точку $A(2; 6)$ и образует с положительным направлением оси абсцисс угол:

1) $60^\circ$;

2) $120^\circ$.

Уравнение прямой, проходящей через заданную точку $M_0(x_0; y_0)$ и имеющей угловой коэффициент $k$, имеет вид:

$y - y_0 = k(x - x_0)$

Угловой коэффициент $k$ связан с углом $\alpha$, который прямая образует с положительным направлением оси абсцисс, формулой:

$k = \tan\alpha$

По условию задачи, прямая проходит через точку $A(2; 6)$, следовательно, $x_0 = 2$ и $y_0 = 6$.

1) Угол наклона прямой к оси абсцисс равен $60^\circ$.

Найдем угловой коэффициент $k$:

$k = \tan(60^\circ) = \sqrt{3}$

Теперь подставим координаты точки $A(2; 6)$ и найденный угловой коэффициент $k = \sqrt{3}$ в уравнение прямой:

$y - 6 = \sqrt{3}(x - 2)$

Преобразуем уравнение, выразив $y$:

$y - 6 = \sqrt{3}x - 2\sqrt{3}$

$y = \sqrt{3}x + 6 - 2\sqrt{3}$

Ответ: $y = \sqrt{3}x + 6 - 2\sqrt{3}$

2) Угол наклона прямой к оси абсцисс равен $120^\circ$.

Найдем угловой коэффициент $k$:

$k = \tan(120^\circ) = \tan(180^\circ - 60^\circ) = -\tan(60^\circ) = -\sqrt{3}$

Подставим координаты точки $A(2; 6)$ и найденный угловой коэффициент $k = -\sqrt{3}$ в уравнение прямой:

$y - 6 = -\sqrt{3}(x - 2)$

Преобразуем уравнение, выразив $y$:

$y - 6 = -\sqrt{3}x + 2\sqrt{3}$

$y = -\sqrt{3}x + 6 + 2\sqrt{3}$

Ответ: $y = -\sqrt{3}x + 6 + 2\sqrt{3}$

396. Составьте уравнение прямой, которая проходит через точку $B (3; -2)$ и образует с положительным направлением оси абсцисс угол:

Для составления уравнения прямой воспользуемся формулой уравнения прямой, проходящей через заданную точку $(x_0, y_0)$ с известным угловым коэффициентом $k$:

$y - y_0 = k(x - x_0)$

Угловой коэффициент $k$ прямой равен тангенсу угла $\alpha$, который эта прямая образует с положительным направлением оси абсцисс:

$k = \tan(\alpha)$

По условию задачи, прямая проходит через точку $B(3; -2)$, поэтому $x_0 = 3$ и $y_0 = -2$.

1)

Прямая образует с положительным направлением оси абсцисс угол $\alpha = 45°$.

Сначала найдем угловой коэффициент $k$:

$k = \tan(45°) = 1$

Теперь подставим известные значения ($x_0=3$, $y_0=-2$, $k=1$) в уравнение прямой:

$y - (-2) = 1 \cdot (x - 3)$

$y + 2 = x - 3$

Выразим $y$, чтобы получить уравнение прямой в стандартном виде:

$y = x - 3 - 2$

$y = x - 5$

Ответ: $y = x - 5$.

2)

Прямая образует с положительным направлением оси абсцисс угол $\alpha = 135°$.

Найдем угловой коэффициент $k$:

$k = \tan(135°) = -1$

Подставим известные значения ($x_0=3$, $y_0=-2$, $k=-1$) в уравнение прямой:

$y - (-2) = -1 \cdot (x - 3)$

$y + 2 = -x + 3$

Выразим $y$:

$y = -x + 3 - 2$

$y = -x + 1$

Ответ: $y = -x + 1$.