Страница 100 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

1. Какие координаты имеет середина отрезка $AB$, если $A (-6; 7)$, $B (4; -9)$?

А) $(-5; 8)$

Б) $(-1; -1)$

В) $(-5; -1)$

Г) $(-1; 8)$

Чтобы найти координаты середины отрезка, необходимо вычислить среднее арифметическое соответствующих координат его концов. Пусть точка C$(x_C; y_C)$ является серединой отрезка AB.

Координаты концов отрезка заданы: A$(-6; 7)$ и B$(4; -9)$.

Формулы для нахождения координат середины отрезка:

$x_C = \frac{x_A + x_B}{2}$

$y_C = \frac{y_A + y_B}{2}$

Подставим значения координат точек A и B в эти формулы.

Найдем абсциссу (координату x) середины отрезка:

$x_C = \frac{-6 + 4}{2} = \frac{-2}{2} = -1$

Найдем ординату (координату y) середины отрезка:

$y_C = \frac{7 + (-9)}{2} = \frac{7 - 9}{2} = \frac{-2}{2} = -1$

Таким образом, координаты середины отрезка AB равны $(-1; -1)$.

Сравнивая полученный результат с предложенными вариантами, видим, что он соответствует варианту Б.

Ответ: Б) $(-1; -1)$

2. Чему равно расстояние между точками C (8; -11) и D (2; -3)?

А) 100

Б) 10

В) $\sqrt{296}$

Г) $\sqrt{164}$

Для определения расстояния $d$ между двумя точками на плоскости с координатами $C(x_1; y_1)$ и $D(x_2; y_2)$ применяется формула, вытекающая из теоремы Пифагора:
$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$
В условии задачи даны точки $C(8; -11)$ и $D(2; -3)$. Определим соответствующие значения координат:
$x_1 = 8$, $y_1 = -11$
$x_2 = 2$, $y_2 = -3$
Подставим эти значения в формулу расстояния:
$d = \sqrt{(2 - 8)^2 + (-3 - (-11))^2}$
Выполним вычисления последовательно:
$d = \sqrt{(-6)^2 + (-3 + 11)^2}$
$d = \sqrt{(-6)^2 + (8)^2}$
$d = \sqrt{36 + 64}$
$d = \sqrt{100}$
$d = 10$
Следовательно, расстояние между точками C и D составляет 10. Этот результат соответствует варианту ответа Б.
Ответ: Б) 10

3. Какие координаты имеет центр окружности $(x-5)^2+(y+9)^2 = 16?$

А) (5; -9)

Б) (-5; 9)

В) (5; 9)

Г) (-5; -9)

Стандартное уравнение окружности с центром в точке $(h; k)$ и радиусом $r$ выглядит следующим образом:

$(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$

В задаче представлено уравнение:

$(x - 5)^2 + (y + 9)^2 = 16$

Для того чтобы найти координаты центра окружности, необходимо сравнить данное уравнение со стандартной формой.

Сравнивая выражение $(x - 5)^2$ со стандартной формой $(x - h)^2$, мы видим, что координата центра по оси x, $h$, равна $5$.

Сравнивая выражение $(y + 9)^2$ со стандартной формой $(y - k)^2$, мы можем переписать $(y + 9)^2$ как $(y - (-9))^2$. Отсюда следует, что координата центра по оси y, $k$, равна $-9$.

Следовательно, центр окружности имеет координаты $(5; -9)$.

Ответ: А) $(5; -9)$

4. Центром какой из данных окружностей является начало координат?

А) $x^2 + (y - 1)^2 = 1$

Б) $(x - 1)^2 + y^2 = 1$

В) $x^2 + y^2 = 1$

Г) $(x - 1)^2 + (y - 1)^2 = 1$

Каноническое уравнение окружности с центром в точке $(a; b)$ и радиусом $r$ записывается в виде: $(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$.

Начало координат — это точка с координатами $(0; 0)$. Для того чтобы центр окружности совпадал с началом координат, необходимо, чтобы в уравнении окружности $a=0$ и $b=0$.

Подставив эти значения в каноническое уравнение, получим уравнение окружности с центром в начале координат: $(x - 0)^2 + (y - 0)^2 = r^2$, что эквивалентно $x^2 + y^2 = r^2$.

Теперь рассмотрим каждый из предложенных вариантов:

А) $x^2 + (y - 1)^2 = 1$. Это уравнение соответствует окружности с центром в точке $(0; 1)$, так как $a=0$ и $b=1$. Этот центр не совпадает с началом координат.

Б) $(x - 1)^2 + y^2 = 1$. Это уравнение соответствует окружности с центром в точке $(1; 0)$, так как $a=1$ и $b=0$. Этот центр не совпадает с началом координат.

В) $x^2 + y^2 = 1$. Это уравнение соответствует виду $x^2 + y^2 = r^2$, где $a=0$ и $b=0$. Центр этой окружности находится в точке $(0; 0)$, то есть в начале координат.

Г) $(x - 1)^2 + (y - 1)^2 = 1$. Это уравнение соответствует окружности с центром в точке $(1; 1)$, так как $a=1$ и $b=1$. Этот центр не совпадает с началом координат.

Таким образом, единственное уравнение, описывающее окружность с центром в начале координат, это $x^2 + y^2 = 1$.

Ответ: В

5. Найдите радиус окружности, диаметром которой является отрезок $MK$, если $M (14; 12)$ и $K (-10; 2)$.

А) 26

Б) 13

В) 25

Г) 5

Для того чтобы найти радиус окружности, сначала необходимо определить длину ее диаметра. В данном случае диаметром является отрезок MK.

Длину отрезка MK можно найти, используя формулу расстояния между двумя точками на плоскости с заданными координатами $M(x_1; y_1)$ и $K(x_2; y_2)$:

$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$

Подставим координаты точек $M(14; 12)$ и $K(-10; 2)$ в эту формулу:

$MK = \sqrt{(-10 - 14)^2 + (2 - 12)^2}$

$MK = \sqrt{(-24)^2 + (-10)^2}$

$MK = \sqrt{576 + 100}$

$MK = \sqrt{676}$

$MK = 26$

Таким образом, длина диаметра окружности составляет 26 единиц.

Радиус окружности r равен половине ее диаметра:

$r = \frac{d}{2}$

Вычислим радиус:

$r = \frac{26}{2} = 13$

Ответ: 13

6. Каковы координаты точки пересечения прямой $5x - 3y = 15$ с осью абсцисс?

А) $(0; -5)$

Б) $(-5; 0)$

В) $(0; 3)$

Г) $(3; 0)$

Чтобы найти координаты точки пересечения прямой с осью абсцисс (осью Ox), необходимо в уравнение прямой подставить значение $y=0$, так как у любой точки на оси абсцисс ордината равна нулю.

Дано уравнение прямой: $5x - 3y = 15$.

Подставим $y=0$ в уравнение, чтобы найти соответствующую координату $x$:
$5x - 3 \cdot 0 = 15$
$5x - 0 = 15$
$5x = 15$

Теперь решим полученное уравнение относительно $x$:
$x = \frac{15}{5}$
$x = 3$

Таким образом, точка пересечения прямой $5x - 3y = 15$ с осью абсцисс имеет координаты $(3; 0)$. Сравнивая с предложенными вариантами, мы видим, что это соответствует варианту Г.

Ответ: Г) (3; 0)

7. Четырёхугольник ABCD – параллелограмм, $B (-2; 3)$, $C (10; 9)$, $D (7; 0)$. Чему равны координаты вершины A?

А) $(1; 6)$

Б) $(19; -3)$

В) $(-5; -6)$

Г) $(6; 5)$

Поскольку четырёхугольник $ABCD$ является параллелограммом, его диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются и в точке пересечения делятся пополам. Это означает, что координаты середины диагонали $AC$ совпадают с координатами середины диагонали $BD$.

Пусть искомые координаты вершины $A$ будут $(x_A, y_A)$.

Сначала найдём координаты середины $M$ диагонали $BD$, используя известные координаты точек $B(-2; 3)$ и $D(7; 0)$. Координаты середины отрезка вычисляются по формулам $x_M = \frac{x_1 + x_2}{2}$ и $y_M = \frac{y_1 + y_2}{2}$:
$x_M = \frac{-2 + 7}{2} = \frac{5}{2}$
$y_M = \frac{3 + 0}{2} = \frac{3}{2}$
Таким образом, точка пересечения диагоналей $M$ имеет координаты $(\frac{5}{2}; \frac{3}{2})$.

Точка $M$ также является серединой диагонали $AC$. Используя координаты точек $A(x_A, y_A)$ и $C(10; 9)$, мы можем составить уравнения:
$x_M = \frac{x_A + 10}{2} = \frac{5}{2}$
$y_M = \frac{y_A + 9}{2} = \frac{3}{2}$

Теперь решим получившуюся систему уравнений, чтобы найти $x_A$ и $y_A$:
Из первого уравнения для координаты $x$:
$x_A + 10 = 5$
$x_A = 5 - 10 = -5$
Из второго уравнения для координаты $y$:
$y_A + 9 = 3$
$y_A = 3 - 9 = -6$

Следовательно, координаты вершины $A$ равны $(-5; -6)$. Этот результат соответствует варианту В).

Ответ: (-5; -6)

8. Чему равны координаты точки оси ординат, равноудалённой от точек $A(-3; 4)$ и $B(1; 8)$?

А) $(-5; 0)$

Б) $(0; -5)$

В) $(5; 0)$

Г) $(0; 5)$

Пусть искомая точка C лежит на оси ординат. Любая точка на оси ординат имеет абсциссу (координату x), равную нулю. Следовательно, координаты точки C можно записать как $(0; y)$.

По условию задачи, точка C равноудалена от точек $A(-3; 4)$ и $B(1; 8)$. Это означает, что расстояние от C до A равно расстоянию от C до B, то есть $AC = BC$.

Чтобы избежать работы с квадратными корнями, удобнее использовать равенство квадратов расстояний: $AC^2 = BC^2$.

Формула для квадрата расстояния между двумя точками $(x_1; y_1)$ и $(x_2; y_2)$ выглядит так: $d^2 = (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2$.

Найдем квадрат расстояния $AC^2$ между точками $A(-3; 4)$ и $C(0; y)$:
$AC^2 = (0 - (-3))^2 + (y - 4)^2 = 3^2 + (y - 4)^2 = 9 + y^2 - 8y + 16 = y^2 - 8y + 25$.

Теперь найдем квадрат расстояния $BC^2$ между точками $B(1; 8)$ и $C(0; y)$:
$BC^2 = (0 - 1)^2 + (y - 8)^2 = (-1)^2 + (y - 8)^2 = 1 + y^2 - 16y + 64 = y^2 - 16y + 65$.

Приравняем квадраты расстояний $AC^2$ и $BC^2$ и решим полученное уравнение относительно y:
$y^2 - 8y + 25 = y^2 - 16y + 65$
Вычтем $y^2$ из обеих частей уравнения:
$-8y + 25 = -16y + 65$
Перенесем слагаемые с y в левую часть, а числа — в правую:
$16y - 8y = 65 - 25$
$8y = 40$
$y = \frac{40}{8}$
$y = 5$

Таким образом, ордината искомой точки равна 5. Поскольку точка C лежит на оси ординат, её абсцисса равна 0. Координаты точки C — $(0; 5)$.
Среди предложенных вариантов ответа этот соответствует варианту Г.

Ответ: Г) (0; 5)

9. Чему равна абсцисса точки прямой $AB$, ордината которой равна 2, если $A(-7; 4)$, $B(9; 12)$?

А) 8,5

Б) -11

В) 4

Г) -2

Для решения задачи сначала найдем уравнение прямой, проходящей через точки $A(-7; 4)$ и $B(9; 12)$. Уравнение прямой, проходящей через две точки $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$, можно записать в виде:

$\frac{x - x_1}{x_2 - x_1} = \frac{y - y_1}{y_2 - y_1}$

Подставим координаты наших точек $A$ и $B$ в эту формулу, где $x_1 = -7$, $y_1 = 4$, $x_2 = 9$, $y_2 = 12$:

$\frac{x - (-7)}{9 - (-7)} = \frac{y - 4}{12 - 4}$

Упростим знаменатели:

$\frac{x + 7}{16} = \frac{y - 4}{8}$

Это и есть уравнение прямой $AB$. Теперь нам нужно найти абсциссу (координату $x$) точки на этой прямой, ордината (координата $y$) которой равна 2. Для этого подставим $y = 2$ в полученное уравнение:

$\frac{x + 7}{16} = \frac{2 - 4}{8}$

$\frac{x + 7}{16} = \frac{-2}{8}$

Сократим дробь в правой части:

$\frac{x + 7}{16} = -\frac{1}{4}$

Теперь решим это уравнение относительно $x$. Умножим обе части уравнения на 16:

$x + 7 = -\frac{1}{4} \cdot 16$

$x + 7 = -4$

Перенесем 7 в правую часть:

$x = -4 - 7$

$x = -11$

Следовательно, абсцисса искомой точки равна -11. Это соответствует варианту Б).

Ответ: -11

10. Чему равно расстояние между точкой пересечения прямых $x - y = 4$ и $x + 3y = 12$ и точкой $M (1; 7)$?

А) $5$

Б) $50$

В) $5\sqrt{2}$

Г) $2\sqrt{5}$

Задача состоит из двух шагов. Сначала необходимо найти координаты точки пересечения заданных прямых, а затем вычислить расстояние от этой точки до точки $M(1; 7)$.

1. Нахождение точки пересечения прямых

Для нахождения точки пересечения нужно решить систему уравнений, задающих эти прямые: $$ \begin{cases} x - y = 4 \\ x + 3y = 12 \end{cases} $$ Выразим $x$ из первого уравнения: $x = y + 4$.
Теперь подставим это выражение для $x$ во второе уравнение:
$(y + 4) + 3y = 12$
$4y + 4 = 12$
$4y = 12 - 4$
$4y = 8$
$y = 2$

Теперь, зная $y$, найдем $x$, подставив значение $y=2$ в выражение $x = y + 4$:
$x = 2 + 4 = 6$

Таким образом, точка пересечения прямых, назовем ее $P$, имеет координаты $(6; 2)$.

2. Вычисление расстояния между точками

Теперь найдем расстояние $d$ между точкой пересечения $P(6; 2)$ и точкой $M(1; 7)$. Формула для вычисления расстояния между двумя точками с координатами $(x_1; y_1)$ и $(x_2; y_2)$ выглядит так:
$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$

Подставим координаты точек $P$ и $M$ в формулу:
$d = \sqrt{(1 - 6)^2 + (7 - 2)^2}$
$d = \sqrt{(-5)^2 + 5^2}$
$d = \sqrt{25 + 25}$
$d = \sqrt{50}$

Упростим полученный корень:
$d = \sqrt{25 \cdot 2} = \sqrt{25} \cdot \sqrt{2} = 5\sqrt{2}$

Полученное расстояние равно $5\sqrt{2}$. Это соответствует варианту ответа В).

Ответ: $5\sqrt{2}$

11. Каково уравнение прямой, проходящей через точку $P (-1; 6)$ параллельно прямой $y = 2x - 5$?

А) $y = 6 - 5x$

Б) $y = 2x + 8$

В) $y = 5x - 6$

Г) $y = 2x - 8$

Уравнение прямой в общем виде имеет вид $y = kx + b$, где $k$ — это угловой коэффициент, а $b$ — сдвиг по оси $y$. Две прямые считаются параллельными, если их угловые коэффициенты равны.
Угловой коэффициент для данной прямой $y = 2x - 5$ составляет $k = 2$.
Так как искомая прямая параллельна данной, ее угловой коэффициент также должен быть равен 2. Это означает, что ее уравнение можно записать в виде $y = 2x + b$.
Чтобы определить значение $b$, мы используем тот факт, что прямая проходит через точку $P(-1; 6)$. Подставим координаты этой точки ($x = -1$, $y = 6$) в уравнение прямой:
$6 = 2 \cdot (-1) + b$
$6 = -2 + b$
Теперь решим уравнение относительно $b$:
$b = 6 + 2$
$b = 8$
Подставив значение $b$ обратно в уравнение, мы получаем окончательный вид уравнения искомой прямой: $y = 2x + 8$.
Этот результат соответствует варианту Б.
Ответ: Б) $y = 2x + 8$

12. Чему равен радиус окружности $x^2 + y^2 + 14y - 12x + 78 = 0$?

А) $\sqrt{7}$

Б) 7

В) 14

Г) $\sqrt{14}$

Чтобы найти радиус окружности, необходимо привести ее уравнение к каноническому виду: $(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2$, где $(a, b)$ — координаты центра окружности, а $R$ — ее радиус.

Исходное уравнение окружности: $x^2 + y^2 + 14y - 12x + 78 = 0$.

Сгруппируем слагаемые с $x$ и с $y$, чтобы выделить полные квадраты:
$(x^2 - 12x) + (y^2 + 14y) + 78 = 0$.

Для выделения полного квадрата используется формула $(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2$.

Выделим полный квадрат для выражения с $x$:
$x^2 - 12x = x^2 - 2 \cdot x \cdot 6$. Чтобы получить полный квадрат, нужно прибавить и отнять $6^2 = 36$.
$x^2 - 12x + 36 - 36 = (x - 6)^2 - 36$.

Выделим полный квадрат для выражения с $y$:
$y^2 + 14y = y^2 + 2 \cdot y \cdot 7$. Чтобы получить полный квадрат, нужно прибавить и отнять $7^2 = 49$.
$y^2 + 14y + 49 - 49 = (y + 7)^2 - 49$.

Подставим полученные выражения обратно в исходное уравнение:
$((x - 6)^2 - 36) + ((y + 7)^2 - 49) + 78 = 0$.

Теперь упростим уравнение:
$(x - 6)^2 + (y + 7)^2 - 36 - 49 + 78 = 0$
$(x - 6)^2 + (y + 7)^2 - 85 + 78 = 0$
$(x - 6)^2 + (y + 7)^2 - 7 = 0$.

Перенесем свободный член в правую часть уравнения, чтобы получить канонический вид:
$(x - 6)^2 + (y + 7)^2 = 7$.

Сравнивая это уравнение с канонической формой $(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2$, видим, что квадрат радиуса $R^2$ равен 7.
$R^2 = 7$.

Следовательно, радиус окружности $R$ равен:
$R = \sqrt{7}$.

Ответ: $\sqrt{7}$