Страница 105 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

1. Приведите примеры скалярных величин.

1. Скалярная величина (или скаляр) — это физическая величина, которая полностью определяется своим численным значением и не имеет направления в пространстве. В отличие от векторных величин (таких как сила или скорость), для описания скаляра достаточно указать только число и единицу измерения.

Примерами скалярных величин являются:

• Длина, путь: расстояние, пройденное телом, например, 5 километров.
• Площадь: размер поверхности, например, 15 квадратных метров ($15 \, м^2$).
• Объем: пространство, занимаемое телом, например, 3 литра ($3 \, л$).
• Масса: мера инертности тела, например, 10 килограммов ($10 \, кг$).
• Время: длительность процесса, например, 60 секунд ($60 \, с$).
• Температура: степень нагретости тела, например, 20 градусов Цельсия ($20^\circ C$).
• Плотность: отношение массы тела к его объему, например, 1000 килограммов на кубический метр ($1000 \, кг/м^3$).
• Энергия: способность тела или системы совершать работу, например, 250 джоулей ($250 \, Дж$).
• Работа: мера действия силы, например, 100 джоулей ($100 \, Дж$).
• Мощность: скорость выполнения работы, например, 500 ватт ($500 \, Вт$).
• Давление: сила, действующая на единицу площади, например, 100 килопаскалей ($100 \, кПа$).
• Электрический заряд: свойство частиц вступать в электромагнитные взаимодействия, например, элементарный заряд $e \approx 1.6 \cdot 10^{-19}$ Кулон ($Кл$).

Ответ: Масса, температура, время, длина, площадь, объем, энергия, работа, плотность, давление.

2. Какие величины называют векторными?

Векторными величинами (или просто векторами) называют физические величины, которые для полного своего определения требуют задания не только числового значения (модуля), но и направления в пространстве. В отличие от скалярных величин, таких как масса, температура или время, которые характеризуются только числовым значением, векторные величины всегда связаны с направлением.

Например, чтобы описать движение автомобиля, недостаточно сказать, что его скорость составляет 60 км/ч. Необходимо также указать направление движения, например, «на север». Таким образом, скорость является векторной величиной. Графически векторы изображают в виде направленных отрезков (стрелок), где длина стрелки соответствует модулю величины, а ее направление указывает направление вектора.

Примеры векторных величин:
Сила ($\vec{F}$) — является мерой механического воздействия на тело. Она характеризуется величиной (например, 10 Ньютонов) и направлением (например, вертикально вниз).
Скорость ($\vec{v}$) — характеризует быстроту перемещения и направление движения тела.
Ускорение ($\vec{a}$) — показывает, как быстро изменяется вектор скорости тела с течением времени.
Перемещение ($\vec{s}$) — это вектор, соединяющий начальное положение тела с его конечным положением.
Импульс ($\vec{p}$) — является мерой механического движения тела и определяется как произведение массы тела на его скорость ($\vec{p} = m\vec{v}$).

Ответ: Векторные величины — это физические величины, которые характеризуются как числовым значением (модулем), так и направлением в пространстве.

3. Что в геометрии называют векторами?

В геометрии вектором называют направленный отрезок, то есть отрезок, для которого указано, какая из его точек является началом, а какая — концом. Вектор графически изображается в виде отрезка со стрелкой, указывающей его направление.

Каждый вектор обладает двумя основными характеристиками:

• Направление. Точка, из которой исходит вектор, называется его началом, а точка, в которую он направлен, — его концом.
• Длина (или модуль). Это расстояние между начальной и конечной точками вектора. Длина вектора — это скалярная (числовая) неотрицательная величина.

Обозначение векторов:

• Векторы обозначаются строчными латинскими буквами со стрелкой или чертой над ними: $ \vec{a} $, $ \bar{b} $.
• Если известны начальная точка (например, A) и конечная точка (например, B) вектора, его можно обозначить двумя заглавными буквами со стрелкой: $ \vec{AB} $.
• Длина (модуль) вектора $ \vec{a} $ или $ \vec{AB} $ обозначается как $ |\vec{a}| $ или $ |\vec{AB}| $.

Важные понятия:

• Нулевой вектор — вектор, у которого начало и конец совпадают (например, $ \vec{AA} $). Его длина равна нулю, а направление не определено. Обозначается как $ \vec{0} $.
• Равные векторы — это векторы, которые имеют одинаковую длину и одинаковое направление (сонаправлены).
• Коллинеарные векторы — векторы, лежащие на одной прямой или на параллельных прямых.

В системе координат вектор можно задать его проекциями на оси координат. Например, на плоскости вектор $ \vec{a} $ с началом в точке $ A(x_1, y_1) $ и концом в точке $ B(x_2, y_2) $ имеет координаты $ (x_2 - x_1, y_2 - y_1) $. Его длина вычисляется по формуле: $ |\vec{a}| = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} $.

Векторы широко используются для описания перемещений, сил, скоростей и других величин, имеющих как величину, так и направление.

Ответ: Вектор в геометрии — это направленный отрезок, который характеризуется своим направлением и длиной (модулем).

4. Какие из величин являются векторными: время, вес, ускорение, импульс, масса, перемещение, путь, площадь, давление?

Физические величины можно разделить на две основные группы: скалярные и векторные. Скалярные величины полностью определяются своим числовым значением (модулем). Векторные величины, помимо числового значения, характеризуются также направлением в пространстве. Проанализируем каждую из величин, перечисленных в вопросе.

время

Время ($t$) — это фундаментальная физическая величина, которая характеризует длительность процессов. Время не имеет направления в трехмерном пространстве, оно определяется только числовым значением. Поэтому время является скалярной величиной.
Ответ: скалярная величина.

вес

Вес ($\vec{P}$) — это сила, с которой тело действует на опору или подвес из-за гравитационного притяжения. Как и любая сила, вес является векторной величиной. Он имеет модуль (численное значение веса) и направление (обычно вертикально вниз, к центру гравитирующего объекта, например, Земли).
Ответ: векторная величина.

ускорение

Ускорение ($\vec{a}$) — это величина, которая показывает, как быстро меняется скорость тела. Поскольку скорость является вектором (имеет модуль и направление), то и ее изменение со временем — ускорение — также является вектором. Ускорение характеризуется модулем и направлением, которое совпадает с направлением изменения вектора скорости.
Ответ: векторная величина.

импульс

Импульс тела (или количество движения, $\vec{p}$) определяется как произведение массы тела ($m$) на его скорость ($\vec{v}$), то есть $\vec{p} = m\vec{v}$. Так как масса — это скаляр, а скорость — вектор, их произведение также является векторной величиной. Направление вектора импульса совпадает с направлением вектора скорости.
Ответ: векторная величина.

масса

Масса ($m$) — это мера инертности тела, то есть его способности сопротивляться изменению скорости под действием силы. Масса также определяет гравитационные свойства тела. Она является скалярной величиной, так как характеризуется только числовым значением и не имеет направления.
Ответ: скалярная величина.

перемещение

Перемещение ($\vec{s}$) — это вектор, проведенный из начального положения тела в его конечное положение. Перемещение имеет модуль, равный кратчайшему расстоянию между начальной и конечной точками, и направление от начала к концу движения. Его не следует путать с путем.
Ответ: векторная величина.

путь

Путь ($l$) — это длина траектории, которую прошло тело. Это скалярная величина, так как она характеризуется только числовым значением (пройденным расстоянием) и не имеет направления. Путь всегда неотрицателен.
Ответ: скалярная величина.

площадь

В большинстве случаев площадь ($S$) рассматривается как скалярная величина, характеризующая размер какой-либо поверхности. Однако в некоторых разделах физики (например, в электродинамике при расчете потока вектора магнитной индукции) площадь представляют как вектор ($\vec{S}$), модуль которого равен значению площади, а направление перпендикулярно (по нормали) к поверхности. В контексте базовых понятий механики, как в данном вопросе, площадь принято считать скаляром.
Ответ: скалярная величина.

давление

Давление ($p$) — это скалярная величина, равная отношению модуля силы ($F$), действующей перпендикулярно поверхности, к площади ($S$) этой поверхности: $p = F/S$. Несмотря на то что давление создается силой (вектором), само по себе оно не имеет направления. В жидкости или газе давление в любой точке действует одинаково по всем направлениям.
Ответ: скалярная величина.

Таким образом, к векторным величинам из представленного списка относятся вес, ускорение, импульс и перемещение.

5. Какой отрезок называют направленным отрезком или вектором?

Направленным отрезком или вектором называется отрезок, для которого указано, какая из его граничных точек считается началом, а какая — концом. Таким образом, в отличие от обычного отрезка, для вектора важен не только размер, но и направление.

Начало вектора также называют точкой его приложения. Вектор с началом в точке $A$ и концом в точке $B$ принято обозначать как $\vec{AB}$. Также векторы можно обозначать одной строчной латинской буквой со стрелкой над ней, например, $\vec{a}$.

Ключевыми характеристиками вектора являются:

• Направление, которое на чертеже указывается стрелкой от начальной точки к конечной.
• Длина (или модуль) вектора, которая представляет собой длину отрезка, соединяющего его начало и конец. Модуль вектора $\vec{AB}$ обозначается как $|\vec{AB}|$.

Особым случаем является нулевой вектор — это вектор, у которого начало и конец совпадают (например, вектор $\vec{AA}$). Длина такого вектора равна нулю, а направление не определено.

Ответ: Направленным отрезком или вектором называют отрезок, у которого определены начальная и конечная точки, то есть задано направление.

6. Как обозначают вектор с началом в точке A и концом в точке B?

$ \vec{AB} $

Вектор — это направленный отрезок, который характеризуется направлением и длиной (модулем). Для обозначения вектора, у которого известны начальная и конечная точки, используют заглавные буквы, соответствующие этим точкам.

Вектор с началом в точке A и концом в точке B принято обозначать как $ \vec{AB} $.

• Первая буква (A) всегда указывает на начало вектора (точку, из которой он выходит).
• Вторая буква (B) всегда указывает на конец вектора (точку, в которую он приходит).
• Стрелка над буквами указывает на то, что это векторная величина, и ее направление символически совпадает с направлением отрезка от A к B.

Иногда векторы также обозначают одной строчной латинской буквой со стрелкой над ней, например, $ \vec{a} $, $ \vec{b} $ и так далее. В данном случае можно было бы записать $ \vec{a} = \vec{AB} $.

Ответ: $ \vec{AB} $.

7. Какой вектор называют Нулевым?

Нулевым вектором (или нуль-вектором) называют вектор, у которого начальная точка совпадает с его конечной точкой. Другими словами, это вектор, длина которого равна нулю.

Рассмотрим его основные характеристики и свойства:

• Геометрическое представление: Геометрически нулевой вектор представляет собой точку. Например, вектор $\vec{AA}$ является нулевым, так как его начало (точка A) и конец (точка A) совпадают.
• Длина (модуль): Длина (модуль) нулевого вектора равна нулю. Это записывается как $|\vec{0}| = 0$.
• Направление: Нулевой вектор является единственным вектором, у которого нет определенного направления. По соглашению, его можно считать коллинеарным (и сонаправленным) любому вектору.
• Обозначение: Нулевой вектор принято обозначать символом $\vec{0}$.
• Координаты: В любой системе координат все координаты нулевого вектора равны нулю. На плоскости это $\vec{0} = (0; 0)$, в трехмерном пространстве — $\vec{0} = (0; 0; 0)$.

Нулевой вектор играет важную роль в операциях с векторами:

• Сложение: Нулевой вектор является нейтральным элементом для операции сложения векторов. Это означает, что прибавление нулевого вектора к любому вектору $\vec{a}$ не изменяет последний: $\vec{a} + \vec{0} = \vec{a}$.
• Вычитание: Сумма любого вектора $\vec{a}$ и противоположного ему вектора $(-\vec{a})$ равна нулевому вектору: $\vec{a} + (-\vec{a}) = \vec{a} - \vec{a} = \vec{0}$.
• Умножение на скаляр: Умножение любого вектора $\vec{a}$ на число 0 дает нулевой вектор: $0 \cdot \vec{a} = \vec{0}$.

Ответ: Нулевой вектор — это вектор, у которого начало и конец совпадают. Его длина равна нулю, он не имеет определенного направления и обозначается как $\vec{0}$.

8. Что называют модулем вектора $\vec{AB}$?

Модулем (или абсолютной величиной, или длиной) вектора $\vec{AB}$ называют длину отрезка $AB$, который представляет этот вектор. Модуль вектора — это скалярная, то есть числовая, величина, и она всегда неотрицательна.

Обозначается модуль вектора $\vec{AB}$ с помощью двух вертикальных черт: $|\vec{AB}|$. Таким образом, по определению: $|\vec{AB}| = AB$.

Модуль нулевого вектора (вектора, у которого начало и конец совпадают) равен нулю.

Если вектор задан в системе координат, его модуль можно вычислить. Пусть даны координаты начала вектора — точка $A(x_A; y_A)$, и конца вектора — точка $B(x_B; y_B)$. Вектор $\vec{AB}$ будет иметь координаты $(x_B - x_A; y_B - y_A)$. Модуль этого вектора вычисляется по формуле расстояния между двумя точками, которая является следствием теоремы Пифагора:

Для двумерного пространства (на плоскости):
$|\vec{AB}| = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}$

Для трехмерного пространства (в объеме):
$|\vec{AB}| = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2 + (z_B - z_A)^2}$

Ответ: Модулем вектора $\vec{AB}$ называют длину отрезка $AB$.

9. Чему равен модуль нулевого вектора?

Нулевой вектор, который обозначается как $\vec{0}$, является вектором, у которого начальная и конечная точки совпадают. Геометрически он представляет собой точку, а не направленный отрезок. В любой системе координат все компоненты (координаты) нулевого вектора равны нулю. Например, в двумерном пространстве (на плоскости) это вектор с координатами $\vec{0} = (0; 0)$.

Модуль (или длина) вектора — это скалярная (числовая) величина, равная расстоянию между его началом и концом. Модуль любого вектора, кроме нулевого, является положительным числом. Модуль вектора $\vec{a}$ с координатами $(x; y)$ вычисляется по формуле теоремы Пифагора:

$|\vec{a}| = \sqrt{x^2 + y^2}$

Для вычисления модуля нулевого вектора $\vec{0} = (0; 0)$ подставим его координаты в эту формулу:

$|\vec{0}| = \sqrt{0^2 + 0^2} = \sqrt{0 + 0} = \sqrt{0} = 0$

Следовательно, модуль нулевого вектора равен нулю. Это единственный вектор, длина которого равна нулю.

Ответ: 0

10. Какие векторы называют коллинеарными?

Коллинеарными называют ненулевые векторы, которые лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Нулевой вектор по определению считается коллинеарным любому вектору.

Геометрическое определение
С геометрической точки зрения, два вектора коллинеарны, если они параллельны одной и той же прямой. Это означает, что если отложить эти векторы от одной точки, они будут лежать на одной прямой.

Коллинеарные векторы могут быть двух типов:

• Сонаправленные векторы: это коллинеарные векторы, которые имеют одинаковое направление. Их обозначают как $\vec{a} \uparrow\uparrow \vec{b}$.
• Противоположно направленные векторы: это коллинеарные векторы, которые имеют противоположные направления. Их обозначают как $\vec{a} \uparrow\downarrow \vec{b}$.

Алгебраическое определение
Два вектора $\vec{a}$ и $\vec{b}$ являются коллинеарными тогда и только тогда, когда существует такое действительное число $k$, что выполняется равенство:
$\vec{a} = k \cdot \vec{b}$
При этом:

• Если $k > 0$, векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ сонаправлены.
• Если $k < 0$, векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ противоположно направлены.
• Если $k = 0$, то вектор $\vec{a}$ является нулевым вектором.

Условие коллинеарности в координатах
Условие коллинеарности для векторов, заданных своими координатами, заключается в пропорциональности их соответствующих координат.

• Для векторов на плоскости $\vec{a} = (x_1; y_1)$ и $\vec{b} = (x_2; y_2)$ условие коллинеарности имеет вид:
  $\frac{x_1}{x_2} = \frac{y_1}{y_2}$
  (при условии, что $x_2 \neq 0$ и $y_2 \neq 0$). Более универсальная запись, работающая и при нулевых координатах: $x_1 y_2 - x_2 y_1 = 0$.
• Для векторов в пространстве $\vec{a} = (x_1; y_1; z_1)$ и $\vec{b} = (x_2; y_2; z_2)$ условие коллинеарности имеет вид:
  $\frac{x_1}{x_2} = \frac{y_1}{y_2} = \frac{z_1}{z_2}$
  (при условии, что знаменатели не равны нулю).

Пример:
Векторы $\vec{c} = (3; -6)$ и $\vec{d} = (1; -2)$ коллинеарны, так как их координаты пропорциональны: $\frac{3}{1} = \frac{-6}{-2} = 3$. В данном случае $\vec{c} = 3 \cdot \vec{d}$, число $k=3 > 0$, следовательно, векторы сонаправлены.

Ответ: Коллинеарными называют векторы, лежащие на одной прямой или на параллельных прямых. Два вектора $\vec{a}$ и $\vec{b}$ коллинеарны, если существует такое число $k$, что $\vec{a} = k \cdot \vec{b}$.

11. Как обозначают сонаправленные векторы? Противоположно направленные векторы?

Как обозначают сонаправленные векторы?

Сонаправленными называются два ненулевых вектора, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых и направлены в одну и ту же сторону. Также любой вектор считается сонаправленным нулевому вектору.
Сонаправленность двух векторов, например $\vec{a}$ и $\vec{b}$, обозначается с помощью знака в виде двух параллельных стрелок, направленных вверх: $\uparrow\uparrow$.
Запись $\vec{a} \uparrow\uparrow \vec{b}$ читается: "вектор $\vec{a}$ сонаправлен вектору $\vec{b}$".
Это условие эквивалентно тому, что один вектор можно выразить через другой умножением на положительное число: $\vec{a} = k \cdot \vec{b}$, где $k > 0$.

Ответ: сонаправленные векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ обозначают так: $\vec{a} \uparrow\uparrow \vec{b}$.

Противоположно направленные векторы?

Противоположно направленными называются два ненулевых вектора, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых, но направлены в противоположные стороны.
Противоположная направленность двух векторов, например $\vec{c}$ и $\vec{d}$, обозначается с помощью знака в виде двух стрелок, направленных в разные стороны (вверх и вниз): $\uparrow\downarrow$.
Запись $\vec{c} \uparrow\downarrow \vec{d}$ читается: "вектор $\vec{c}$ противоположно направлен вектору $\vec{d}$".
Это условие эквивалентно тому, что один вектор можно выразить через другой умножением на отрицательное число: $\vec{c} = k \cdot \vec{d}$, где $k < 0$.

Ответ: противоположно направленные векторы $\vec{c}$ и $\vec{d}$ обозначают так: $\vec{c} \uparrow\downarrow \vec{d}$.

12. Какие векторы называют равными?

Два ненулевых вектора называются равными, если они удовлетворяют двум условиям:

1. Они сонаправлены, то есть лежат на одной прямой или на параллельных прямых и направлены в одну и ту же сторону.
2. Их длины (модули) равны.

Таким образом, для двух векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ равенство $\vec{a} = \vec{b}$ выполняется тогда и только тогда, когда они одновременно сонаправлены (что обозначается как $\vec{a} \uparrow\uparrow \vec{b}$) и имеют равные модули (что обозначается как $|\vec{a}| = |\vec{b}|$).

Геометрически это означает, что один вектор можно получить из другого путем параллельного переноса так, чтобы их начала и концы совпали. Например, если вектор $\vec{AB}$ можно совместить с вектором $\vec{CD}$ с помощью параллельного переноса (точка A переходит в C, а точка B — в D), то эти векторы равны: $\vec{AB} = \vec{CD}$. Из этого следует, что равные векторы не привязаны к конкретной точке в пространстве.

В координатной форме два вектора равны, если равны их соответствующие координаты. Если в некоторой системе координат вектор $\vec{a}$ имеет координаты $\{x_1; y_1; z_1\}$, а вектор $\vec{b}$ имеет координаты $\{x_2; y_2; z_2\}$, то равенство $\vec{a} = \vec{b}$ справедливо, если выполняются следующие условия:

$x_1 = x_2$

$y_1 = y_2$

$z_1 = z_2$

Все нулевые векторы (векторы, у которых начало и конец совпадают, а длина равна нулю) по определению считаются равными друг другу.

Ответ: Два вектора называют равными, если они сонаправлены (имеют одинаковое направление) и их длины равны. В координатах это означает, что их соответствующие координаты равны.

406. Отметьте три точки $A$, $B$ и $C$, не лежащие на одной прямой. Начер, тите векторы $\vec{AB}$, $\vec{BA}$ и $\vec{CB}$.

Для решения задачи сначала необходимо отметить на плоскости три точки A, B и C, которые не лежат на одной прямой. Это означает, что эти точки образуют вершины треугольника.

После этого можно приступить к построению векторов:

• Вектор $\overrightarrow{AB}$ — это направленный отрезок, который начинается в точке A (начало вектора) и заканчивается в точке B (конец вектора). На чертеже он будет изображен как отрезок со стрелкой, указывающей от A к B.

• Вектор $\overrightarrow{BA}$ — это направленный отрезок с началом в точке B и концом в точке A. Этот вектор имеет ту же длину, что и $\overrightarrow{AB}$, но направлен в противоположную сторону. Такие векторы называются противоположными.

• Вектор $\overrightarrow{CB}$ — это направленный отрезок с началом в точке C и концом в точке B.

Ниже представлен чертеж, на котором выполнены все построения. Для наглядности векторы $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{BA}$, лежащие на одной прямой, изображены разными цветами и с небольшим смещением друг относительно друга.

Ответ:

На рисунке выше показаны три точки A, B, C, не лежащие на одной прямой, и построенные векторы $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{BA}$ и $\overrightarrow{CB}$.

407. Катер из точки $A$ переместился на север на 40 км в точку $B$, а затем на запад на 60 км из точки $B$ в точку $C$. Выбрав масштаб, начертите векторы, изображающие перемещения из точки $A$ в точку $B$, из точки $B$ в точку $C$, из точки $A$ в точку $C$.

Для построения векторов перемещения выберем масштаб: пусть 1 см на чертеже соответствует 20 км реального расстояния. В этом масштабе:

• перемещение на 40 км будет соответствовать отрезку длиной $40 / 20 = 2$ см;
• перемещение на 60 км будет соответствовать отрезку длиной $60 / 20 = 3$ см.

Направления на чертеже примем стандартными: север — вверх, запад — влево.

перемещение из точки А в точку В

Отметим на плоскости начальную точку А. Поскольку катер переместился на север, отложим от точки А вертикально вверх направленный отрезок (вектор) длиной 2 см. Конец этого вектора обозначим точкой В. Этот вектор $\vec{AB}$ и есть изображение перемещения из A в B.

Ответ: Вектор, изображающий перемещение из точки А в точку В, — это направленный отрезок $\vec{AB}$ длиной 2 см, проведенный из точки А вертикально вверх.

перемещение из точки В в точку С

Из точки В, которая является концом предыдущего перемещения, катер переместился на запад. Отложим от точки В горизонтально влево направленный отрезок (вектор) длиной 3 см. Конец этого вектора обозначим точкой С. Этот вектор $\vec{BC}$ изображает перемещение из B в C.

Ответ: Вектор, изображающий перемещение из точки В в точку С, — это направленный отрезок $\vec{BC}$ длиной 3 см, проведенный из точки B горизонтально влево.

перемещение из точки А в точку С

Это перемещение является итоговым, или результирующим. Оно представляет собой вектор, проведенный из начальной точки всего пути (А) в конечную точку (С). Этот вектор $\vec{AC}$ является суммой векторов $\vec{AB}$ и $\vec{BC}$ ($\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{BC}$). На чертеже он будет являться гипотенузой прямоугольного треугольника ABC, с прямым углом при вершине B.

Ответ: Вектор, изображающий перемещение из точки А в точку С, — это направленный отрезок $\vec{AC}$, соединяющий начальную точку А и конечную точку С.

408. Начертите треугольник ABC. Начертите вектор, сонаправленный с вектором $\vec{CA}$, начало которого находится в точке B.

Для выполнения этого задания необходимо последовательно выполнить несколько шагов по построению.

Сначала начертим на плоскости произвольный треугольник, обозначив его вершины как $A$, $B$ и $C$.

Нам нужно начертить вектор, который начинается в точке $B$ и является сонаправленным с вектором $\vec{CA}$. Назовем искомый вектор $\vec{BD}$.

Вспомним определение сонаправленных векторов. Два ненулевых вектора называются сонаправленными, если они лежат на параллельных прямых (или на одной прямой) и их направления совпадают. Сонаправленность обозначается знаком $\uparrow\uparrow$.

Таким образом, искомый вектор $\vec{BD}$ должен удовлетворять двум условиям:

• Его начало находится в точке $B$.
• Он сонаправлен вектору $\vec{CA}$, то есть $\vec{BD} \uparrow\uparrow \vec{CA}$.

Условие $\vec{BD} \uparrow\uparrow \vec{CA}$ означает, что прямая $BD$ должна быть параллельна прямой $CA$, а направление от точки $B$ к точке $D$ должно быть таким же, как и направление от точки $C$ к точке $A$.

Построение можно выполнить следующим образом:

1. Начертив треугольник $ABC$, определяем вектор $\vec{CA}$ как направленный отрезок из точки $C$ в точку $A$.
2. Через точку $B$ проводим прямую, параллельную прямой $CA$. Это можно сделать с помощью линейки и угольника или циркуля.
3. На построенной прямой откладываем от точки $B$ вектор в том же направлении, что и у вектора $\vec{CA}$. Конец этого вектора обозначим точкой $D$.

Заметим, что в условии задачи не указана длина искомого вектора. Поэтому мы можем выбрать любую длину. Однако, в таких задачах часто подразумевается построение вектора, равного исходному. Если мы построим вектор $\vec{BD}$ так, что его длина будет равна длине вектора $\vec{CA}$ ($|\vec{BD}| = |\vec{CA}|$), то четырёхугольник $ACBD$ будет параллелограммом.

Ниже представлен чертёж, иллюстрирующий построение.

На чертеже треугольник $ABC$ — произвольный. Вектор $\vec{CA}$ показан серой пунктирной линией. Искомый вектор $\vec{BD}$ построен с началом в точке $B$, он параллелен вектору $\vec{CA}$ и направлен в ту же сторону (показан красным цветом).

Ответ:

Искомый вектор $\vec{BD}$ построен на чертеже выше. Он начинается в точке $B$, а его направление и прямая, на которой он лежит, параллельны вектору $\vec{CA}$.