Номер 12, страница 105 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

12. Какие векторы называют равными?

Два ненулевых вектора называются равными, если они удовлетворяют двум условиям:

1. Они сонаправлены, то есть лежат на одной прямой или на параллельных прямых и направлены в одну и ту же сторону.
2. Их длины (модули) равны.

Таким образом, для двух векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ равенство $\vec{a} = \vec{b}$ выполняется тогда и только тогда, когда они одновременно сонаправлены (что обозначается как $\vec{a} \uparrow\uparrow \vec{b}$) и имеют равные модули (что обозначается как $|\vec{a}| = |\vec{b}|$).

Геометрически это означает, что один вектор можно получить из другого путем параллельного переноса так, чтобы их начала и концы совпали. Например, если вектор $\vec{AB}$ можно совместить с вектором $\vec{CD}$ с помощью параллельного переноса (точка A переходит в C, а точка B — в D), то эти векторы равны: $\vec{AB} = \vec{CD}$. Из этого следует, что равные векторы не привязаны к конкретной точке в пространстве.

В координатной форме два вектора равны, если равны их соответствующие координаты. Если в некоторой системе координат вектор $\vec{a}$ имеет координаты $\{x_1; y_1; z_1\}$, а вектор $\vec{b}$ имеет координаты $\{x_2; y_2; z_2\}$, то равенство $\vec{a} = \vec{b}$ справедливо, если выполняются следующие условия:

$x_1 = x_2$

$y_1 = y_2$

$z_1 = z_2$

Все нулевые векторы (векторы, у которых начало и конец совпадают, а длина равна нулю) по определению считаются равными друг другу.

Ответ: Два вектора называют равными, если они сонаправлены (имеют одинаковое направление) и их длины равны. В координатах это означает, что их соответствующие координаты равны.