Номер 412, страница 106 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

412. Начертите вектор $a$ и отметьте точки $M$ и $N$. Отложите от этих точек векторы, равные вектору $\vec{a}$.

Для решения данной задачи необходимо понимать, что такое равные векторы. Два ненулевых вектора называются равными, если они сонаправлены (то есть параллельны и направлены в одну и ту же сторону) и их длины (модули) равны.

Алгоритм построения будет следующим:

1. Начертим на плоскости произвольный вектор $\vec{a}$. Этот вектор задается направленным отрезком, у которого есть начало и конец. Он определяет направление и длину.

2. Отметим в произвольных местах плоскости две точки, $M$ и $N$.

3. Чтобы отложить от точки $M$ вектор, равный вектору $\vec{a}$, нужно построить новый вектор $\vec{MP}$ так, чтобы точка $M$ была его началом, и при этом выполнялись условия равенства векторов:

   • Вектор $\vec{MP}$ должен быть сонаправлен вектору $\vec{a}$ ($\vec{MP} \uparrow\uparrow \vec{a}$). Это значит, что луч $MP$ должен быть параллелен лучу, на котором лежит вектор $\vec{a}$, и иметь то же направление.
   • Длина вектора $\vec{MP}$ должна быть равна длине вектора $\vec{a}$ ($|\vec{MP}| = |\vec{a}|$).

   Практически это делается так: через точку $M$ с помощью линейки и угольника (или двух линеек) проводится прямая, параллельная прямой, содержащей вектор $\vec{a}$. Затем с помощью циркуля или линейки на этой прямой от точки $M$ в нужном направлении откладывается отрезок $MP$, равный по длине вектору $\vec{a}$.

4. Аналогичная процедура выполняется для точки $N$. Строится вектор $\vec{NQ}$, который начинается в точке $N$, сонаправлен вектору $\vec{a}$ и равен ему по длине. В результате мы получим $\vec{NQ} = \vec{a}$.

Ниже представлен пример такого построения.

На рисунке черный вектор — это исходный вектор $\vec{a}$. Синий вектор $\vec{MP}$ отложен от точки $M$, а красный вектор $\vec{NQ}$ отложен от точки $N$. Все три вектора параллельны, имеют одинаковую длину и направление, следовательно, $\vec{a} = \vec{MP} = \vec{NQ}$.

Ответ:

Для построения векторов, равных заданному вектору $\vec{a}$ от точек $M$ и $N$, необходимо для каждой точки провести луч, параллельный и сонаправленный вектору $\vec{a}$, и отложить на этом луче от начальной точки ($M$ или $N$) отрезок, равный по длине вектору $\vec{a}$. В результате получаются векторы $\vec{MP}$ и $\vec{NQ}$, такие что $\vec{MP} = \vec{a}$ и $\vec{NQ} = \vec{a}$, как показано на рисунке.