Номер 415, страница 106 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

415. Укажите равные векторы, начала и концы которых находятся в вершинах квадрата $ABCD$.

Два вектора называются равными, если они имеют одинаковую длину (модуль) и одинаковое направление (сонаправлены). В квадрате ABCD противоположные стороны параллельны и равны по длине. Это свойство является ключевым для нахождения равных векторов.

Рассмотрим пару противоположных сторон $AB$ и $DC$. Поскольку $AB \parallel DC$ и $AB = DC$, векторы, построенные на этих сторонах, будут иметь равные длины. Векторы $\vec{AB}$ и $\vec{DC}$ также будут сонаправлены (например, при обходе вершин против часовой стрелки). Следовательно, $\vec{AB} = \vec{DC}$. Из этого равенства следует и равенство векторов, направленных в противоположную сторону: $\vec{BA} = \vec{CD}$.

Теперь рассмотрим другую пару противоположных сторон, $BC$ и $AD$. Поскольку $BC \parallel AD$ и $BC = AD$, векторы $\vec{BC}$ и $\vec{AD}$ будут равны по длине и сонаправлены. Следовательно, $\vec{BC} = \vec{AD}$. Соответственно, равны и противоположные им векторы: $\vec{CB} = \vec{DA}$.

Векторы, построенные на диагоналях квадрата ($AC$ и $BD$), имеют равные длины, но не являются параллельными (они перпендикулярны). Поэтому среди векторов $\vec{AC}$, $\vec{CA}$, $\vec{BD}$, $\vec{DB}$ равных нет.

Таким образом, мы нашли все пары равных векторов, начала и концы которых находятся в вершинах квадрата.

Ответ: $\vec{AB} = \vec{DC}$; $\vec{BA} = \vec{CD}$; $\vec{BC} = \vec{AD}$; $\vec{CB} = \vec{DA}$.