Номер 416, страница 106 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

416. В ромбе $ABCD$ диагонали пересекаются в точке $O$. Укажите равные векторы, начала и концы которых находятся в точках $A, B, C, D, O$.

Два вектора называются равными, если они сонаправлены (имеют одинаковое направление) и их длины (модули) равны. Для нахождения равных векторов в ромбе $ABCD$, диагонали которого пересекаются в точке $O$, воспользуемся свойствами ромба.

1. Ромб является параллелограммом, поэтому его противолежащие стороны параллельны и равны. Из этого свойства следует равенство векторов, соответствующих этим сторонам:
- Стороны $AB$ и $DC$ параллельны и равны, поэтому векторы $\vec{AB}$ и $\vec{DC}$ сонаправлены и равны по длине. Следовательно, $\vec{AB} = \vec{DC}$.
- Аналогично для векторов, направленных в противоположные стороны: $\vec{BA} = \vec{CD}$.
- Стороны $AD$ и $BC$ параллельны и равны, поэтому векторы $\vec{AD}$ и $\vec{BC}$ сонаправлены и равны по длине. Следовательно, $\vec{AD} = \vec{BC}$.
- Аналогично для векторов, направленных в противоположные стороны: $\vec{DA} = \vec{CB}$.

2. Диагонали ромба в точке пересечения $O$ делятся пополам. Из этого свойства следует равенство векторов, являющихся половинами диагоналей:
- Точка $O$ является серединой диагонали $AC$, поэтому длины отрезков $AO$ и $OC$ равны. Векторы $\vec{AO}$ и $\vec{OC}$ лежат на одной прямой, сонаправлены и равны по длине. Следовательно, $\vec{AO} = \vec{OC}$.
- Аналогично для векторов, направленных в противоположную сторону: $\vec{CO} = \vec{OA}$.
- Точка $O$ является серединой диагонали $BD$, поэтому длины отрезков $BO$ и $OD$ равны. Векторы $\vec{BO}$ и $\vec{OD}$ лежат на одной прямой, сонаправлены и равны по длине. Следовательно, $\vec{BO} = \vec{OD}$.
- Аналогично для векторов, направленных в противоположную сторону: $\vec{DO} = \vec{OB}$.

Ответ: равными являются следующие пары векторов: $\vec{AB} = \vec{DC}$, $\vec{BA} = \vec{CD}$, $\vec{AD} = \vec{BC}$, $\vec{DA} = \vec{CB}$, $\vec{AO} = \vec{OC}$, $\vec{CO} = \vec{OA}$, $\vec{BO} = \vec{OD}$, $\vec{DO} = \vec{OB}$.