Номер 422, страница 107 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

422. Докажите, что если четырёхугольник $ABCD$ - параллелограмм, то $\overline{AB} = \overline{DC}$.

Для доказательства того, что если четырёхугольник $ABCD$ — параллелограмм, то $\vec{AB} = \vec{DC}$, воспользуемся определением равенства векторов. Два вектора называются равными, если они сонаправлены и их длины (модули) равны.

Рассмотрим векторы $\vec{AB}$ и $\vec{DC}$.

1. Сонаправленность. По определению параллелограмма, его противоположные стороны параллельны. Таким образом, сторона $AB$ параллельна стороне $DC$, то есть прямые, на которых лежат эти стороны, параллельны ($AB \parallel DC$). Это означает, что векторы $\vec{AB}$ и $\vec{DC}$ коллинеарны. Поскольку вершины в названии параллелограмма $ABCD$ перечислены последовательно, направление от точки $A$ к точке $B$ совпадает с направлением от точки $D$ к точке $C$. Следовательно, векторы $\vec{AB}$ и $\vec{DC}$ сонаправлены.

2. Равенство длин. Длина вектора — это длина отрезка, который он представляет. То есть, длина вектора $\vec{AB}$ равна длине отрезка $AB$, что записывается как $|\vec{AB}| = |AB|$. Аналогично, $|\vec{DC}| = |DC|$. По свойству параллелограмма, его противоположные стороны равны по длине, значит $|AB| = |DC|$. Отсюда следует, что и длины векторов равны: $|\vec{AB}| = |\vec{DC}|$.

Так как векторы $\vec{AB}$ и $\vec{DC}$ сонаправлены и их длины равны, то по определению равных векторов $\vec{AB} = \vec{DC}$, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.