Номер 428, страница 107 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

428. Известно, что $\vec{AB} = \vec{DC}$. Верно ли, что точки A, B, C и D являются вершинами параллелограмма?

Равенство векторов $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$ означает, что эти векторы имеют одинаковое направление (сонаправлены) и равные длины (модули). Из этого следует, что отрезки $AB$ и $DC$ параллельны и равны по длине, то есть $AB \parallel DC$ и $|AB| = |DC|$.

Рассмотрим два возможных случая расположения точек A, B, C и D.

1. Точки A, B, C и D не лежат на одной прямой.В этом случае мы можем рассмотреть четырехугольник $ABCD$. У этого четырехугольника стороны $AB$ и $DC$ являются противоположными. Так как эти стороны равны и параллельны, то по признаку параллелограмма (если в четырехугольнике две противоположные стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник — параллелограмм), четырехугольник $ABCD$ является параллелограммом.

2. Точки A, B, C и D лежат на одной прямой.В этом случае они не могут образовать параллелограмм, который является плоской фигурой, все вершины которой не могут лежать на одной прямой. При этом условие $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$ может быть выполнено. Например, если на координатной прямой взять точки $A(0)$, $B(2)$, $D(5)$, $C(7)$. Вектор $\overrightarrow{AB}$ будет иметь координату $(2-0)=2$, а вектор $\overrightarrow{DC}$ будет иметь координату $(7-5)=2$. Векторы равны, но все точки лежат на одной прямой.

Поскольку существует случай, когда точки не образуют параллелограмм (случай, когда все точки лежат на одной прямой), то данное в задаче утверждение не является верным в общем случае.

Ответ: Неверно. Утверждение будет верным только при дополнительном условии, что точки A, B, C и D не лежат на одной прямой.