Номер 433, страница 108 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

433. В прямоугольном треугольнике $ABC$ точка $M$ – середина гипотенузы $AB$ и $\angle B = 30^{\circ}$. Найдите модули векторов $\vec{AB}$ и $\vec{MC}$, если $AC = 2$ см.

Нахождение модуля вектора $\vec{AB}$

По условию, в треугольнике $ABC$ сторона $AB$ является гипотенузой, следовательно, треугольник $ABC$ — прямоугольный с прямым углом $\angle C = 90^\circ$. Нам известны длина катета $AC = 2$ см и величина противолежащего ему угла $\angle B = 30^\circ$.

Модуль вектора $\vec{AB}$ равен длине отрезка $AB$. В прямоугольном треугольнике катет, лежащий напротив угла в $30^\circ$, равен половине гипотенузы. То есть: $AC = \frac{1}{2} AB$.

Также можно использовать определение синуса острого угла: $\sin(\angle B) = \frac{AC}{AB}$.

Подставим известные значения, зная, что $\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$: $\frac{1}{2} = \frac{2}{AB}$.

Из этого уравнения находим длину гипотенузы $AB$: $AB = 2 \cdot 2 = 4$ см.

Таким образом, модуль вектора $\vec{AB}$ равен 4 см.

Ответ: $|\vec{AB}| = 4$ см.

Нахождение модуля вектора $\vec{MC}$

Модуль вектора $\vec{MC}$ равен длине отрезка $MC$. По условию, точка $M$ — середина гипотенузы $AB$. Следовательно, отрезок $MC$ является медианой, проведенной из вершины прямого угла $C$ к гипотенузе $AB$.

По свойству медианы в прямоугольном треугольнике, медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы: $MC = \frac{1}{2} AB$.

Из предыдущего пункта мы знаем, что длина гипотенузы $AB = 4$ см. Подставим это значение в формулу: $MC = \frac{1}{2} \cdot 4 = 2$ см.

Таким образом, модуль вектора $\vec{MC}$ равен 2 см.

Ответ: $|\vec{MC}| = 2$ см.