Номер 437, страница 108 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

437. Для четырёх точек $A, B, C$ и $D$ известно, что $\vec{AB} = \vec{CD}$. Докажите, что середины отрезков $AD$ и $BC$ совпадают. Докажите обратное утверждение: если середины отрезков $AD$ и $BC$ совпадают, то $\vec{AB} = \vec{CD}$.

Доказательство того, что середины отрезков AD и BC совпадают

Пусть $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}, \vec{d}$ — радиус-векторы точек $A, B, C, D$ соответственно, отложенные от некоторого начала координат. Условие $\vec{AB} = \vec{CD}$ в терминах радиус-векторов записывается как:

$\vec{b} - \vec{a} = \vec{d} - \vec{c}$

Перегруппируем это равенство, собрав векторы, относящиеся к точкам $A$ и $D$, с одной стороны, а к точкам $B$ и $C$ — с другой:

$\vec{a} + \vec{d} = \vec{b} + \vec{c}$

Пусть $M$ — середина отрезка $AD$, а $N$ — середина отрезка $BC$. Их радиус-векторы $\vec{m}$ и $\vec{n}$ определяются формулами:

$\vec{m} = \frac{\vec{a} + \vec{d}}{2}$

$\vec{n} = \frac{\vec{b} + \vec{c}}{2}$

Поскольку из условия следует, что $\vec{a} + \vec{d} = \vec{b} + \vec{c}$, мы можем разделить обе части этого равенства на 2:

$\frac{\vec{a} + \vec{d}}{2} = \frac{\vec{b} + \vec{c}}{2}$

Отсюда следует, что $\vec{m} = \vec{n}$. Равенство радиус-векторов означает, что точки $M$ и $N$ совпадают. Таким образом, середины отрезков $AD$ и $BC$ совпадают, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.

Доказательство обратного утверждения

Докажем, что если середины отрезков $AD$ и $BC$ совпадают, то $\vec{AB} = \vec{CD}$.

Пусть середины отрезков $AD$ и $BC$ совпадают в некоторой точке $M$. Как и в предыдущем доказательстве, воспользуемся радиус-векторами $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}, \vec{d}$ для точек $A, B, C, D$.

Поскольку $M$ — середина отрезка $AD$, её радиус-вектор $\vec{m}$ равен:

$\vec{m} = \frac{\vec{a} + \vec{d}}{2}$

Поскольку $M$ также является серединой отрезка $BC$, её радиус-вектор также равен:

$\vec{m} = \frac{\vec{b} + \vec{c}}{2}$

Приравнивая эти два выражения для $\vec{m}$, получаем:

$\frac{\vec{a} + \vec{d}}{2} = \frac{\vec{b} + \vec{c}}{2}$

Умножив обе части равенства на 2, получим:

$\vec{a} + \vec{d} = \vec{b} + \vec{c}$

Нам необходимо доказать, что $\vec{AB} = \vec{CD}$. В векторной форме это означает, что нужно доказать равенство $\vec{b} - \vec{a} = \vec{d} - \vec{c}$. Перегруппируем члены в полученном нами равенстве $\vec{a} + \vec{d} = \vec{b} + \vec{c}$:

$\vec{b} - \vec{a} = \vec{d} - \vec{c}$

Это и есть векторное равенство $\vec{AB} = \vec{CD}$. Таким образом, обратное утверждение доказано.

Ответ: Утверждение доказано.