Номер 439, страница 108 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

439. Один из углов параллелограмма равен полусумме трёх остальных его углов. Найдите углы параллелограмма.

Обозначим углы параллелограмма как $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ и $\delta$. Сумма всех углов параллелограмма равна $360^\circ$:

$\alpha + \beta + \gamma + \delta = 360^\circ$

По условию задачи один из углов, пусть это будет $\alpha$, равен полусумме трёх остальных его углов. Запишем это в виде уравнения:

$\alpha = \frac{\beta + \gamma + \delta}{2}$

Из первого уравнения выразим сумму углов $\beta + \gamma + \delta$:

$\beta + \gamma + \delta = 360^\circ - \alpha$

Теперь подставим это выражение во второе уравнение:

$\alpha = \frac{360^\circ - \alpha}{2}$

Решим полученное уравнение относительно $\alpha$:

$2\alpha = 360^\circ - \alpha$

$2\alpha + \alpha = 360^\circ$

$3\alpha = 360^\circ$

$\alpha = \frac{360^\circ}{3}$

$\alpha = 120^\circ$

Мы нашли один из углов параллелограмма, он равен $120^\circ$. В параллелограмме противолежащие углы равны, значит, угол, противолежащий углу $\alpha$, также равен $120^\circ$.

Сумма углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма, составляет $180^\circ$. Найдем второй угол, смежный с углом $\alpha$ (обозначим его $\beta$):

$\beta = 180^\circ - \alpha = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$

Противолежащий ему угол также будет равен $60^\circ$.

Таким образом, углы параллелограмма — это два угла по $60^\circ$ и два угла по $120^\circ$.

Ответ: $60^\circ, 120^\circ, 60^\circ, 120^\circ$.