Номер 434, страница 108 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

434. В прямоугольном треугольнике $ABC$ ($\angle C = 90^\circ$) медиана $CM$ равна 6 см. Найдите модули векторов $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$, если $\angle A = 30^\circ$.

По условию задачи, в прямоугольном треугольнике $ABC$ ($\angle C = 90^\circ$) проведена медиана $CM$ к гипотенузе $AB$. Длина медианы $CM$ равна 6 см, а угол $\angle A$ равен $30^\circ$. Требуется найти модули векторов $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$, что эквивалентно нахождению длин отрезков $AB$ и $AC$.

Модуль вектора $\vec{AB}$, обозначаемый как $|\vec{AB}|$, равен длине отрезка $AB$. В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная из вершины прямого угла к гипотенузе, равна половине гипотенузы.

Таким образом, мы можем записать соотношение: $CM = \frac{1}{2}AB$

Из этого соотношения выразим длину гипотенузы $AB$: $AB = 2 \cdot CM$

Подставим известное значение длины медианы $CM = 6$ см: $AB = 2 \cdot 6 = 12$ см.

Следовательно, модуль вектора $\vec{AB}$ равен 12 см.

Ответ: $|\vec{AB}| = 12$ см.

Модуль вектора $\vec{AC}$, обозначаемый как $|\vec{AC}|$, равен длине катета $AC$. Для его нахождения воспользуемся тригонометрическими соотношениями в прямоугольном треугольнике $ABC$. Нам известна длина гипотенузы $AB = 12$ см и величина угла $\angle A = 30^\circ$, который прилежит к катету $AC$.

Косинус острого угла в прямоугольном треугольнике равен отношению длины прилежащего катета к длине гипотенузы: $\cos(\angle A) = \frac{AC}{AB}$

Выразим отсюда длину катета $AC$: $AC = AB \cdot \cos(\angle A)$

Подставим известные значения. Мы знаем, что $\cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$. $AC = 12 \cdot \cos(30^\circ) = 12 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3}$ см.

Следовательно, модуль вектора $\vec{AC}$ равен $6\sqrt{3}$ см.

Ответ: $|\vec{AC}| = 6\sqrt{3}$ см.