Страница 108 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

430. Дан четырёхугольник ABCD. Известно, что $\overline{AB} = \overline{DC}$ и $|\overline{AB}| = |\overline{BC}|$. Определите вид четырёхугольника ABCD.

Рассмотрим условия, которым удовлетворяет четырёхугольник $ABCD$.

Первое условие — равенство векторов: $\vec{AB} = \vec{DC}$. Два вектора равны, если они коллинеарны (параллельны), одинаково направлены и их длины (модули) равны. Из того, что векторы $\vec{AB}$ и $\vec{DC}$ коллинеарны, следует, что прямые, содержащие стороны $AB$ и $DC$, параллельны: $AB \parallel DC$. Из того, что длины векторов равны, следует, что длины сторон $AB$ и $DC$ равны: $|\vec{AB}| = |\vec{DC}|$, то есть $AB = DC$. По признаку параллелограмма, если в четырёхугольнике две противоположные стороны параллельны и равны, то этот четырёхугольник — параллелограмм. Таким образом, $ABCD$ — параллелограмм.

Второе условие — равенство длин векторов: $|\vec{AB}| = |\vec{BC}|$. Это означает, что длины сторон $AB$ и $BC$ равны: $AB = BC$.

Итак, мы установили, что $ABCD$ — это параллелограмм, у которого две смежные стороны ($AB$ и $BC$) равны. Параллелограмм, у которого смежные стороны равны, является ромбом. Действительно, так как в параллелограмме противолежащие стороны равны ($AB = DC$ и $BC = AD$) и мы знаем, что $AB = BC$, то получаем, что все стороны равны: $AB = BC = DC = AD$.

Следовательно, четырёхугольник $ABCD$ — это ромб.

Ответ: ромб.

431. Дан четырёхугольник ABCD. Известно, что векторы $\overline{AB}$ и $\overline{CD}$ коллинеарны и $|\overline{AC}| = |\overline{BD}|$. Определите вид четырёхугольника ABCD.

По условию задачи, векторы $\overline{AB}$ и $\overline{CD}$ коллинеарны. Коллинеарные векторы лежат на параллельных прямых или на одной прямой. Следовательно, прямые $AB$ и $CD$, содержащие стороны четырёхугольника, параллельны.

Четырёхугольник, у которого две противоположные стороны параллельны, является трапецией. Таким образом, четырёхугольник $ABCD$ — это трапеция с основаниями $AB$ и $CD$.

Второе условие гласит, что $|\overline{AC}| = |\overline{BD}|$. Модуль вектора — это его длина. Следовательно, длины диагоналей трапеции $AC$ и $BD$ равны.

Теперь нам нужно определить вид трапеции, у которой равны диагонали. Докажем, что такая трапеция является равнобедренной (равнобокой).

Рассмотрим трапецию $ABCD$ с основаниями $AB \parallel CD$ и равными диагоналями $AC = BD$. Проведём через вершину $C$ прямую, параллельную диагонали $BD$, до её пересечения с продолжением основания $AB$ в точке $K$.

Рассмотрим получившийся четырёхугольник $KBCD$. В нём стороны $KB$ и $DC$ параллельны, так как они лежат на параллельных прямых $AK$ и $DC$. Стороны $KC$ и $DB$ параллельны по построению. Следовательно, $KBCD$ — параллелограмм.

По свойству параллелограмма, его противоположные стороны равны, то есть $KC = DB$.

Теперь рассмотрим треугольник $\triangle AKC$. По условию задачи $AC = BD$, а из построения мы получили, что $KC = DB$. Отсюда следует, что $AC = KC$. Треугольник, у которого две стороны равны, является равнобедренным. Значит, $\triangle AKC$ — равнобедренный, и углы при его основании $AK$ равны: $\angle CAK = \angle CKA$.

Поскольку прямые $KC$ и $DB$ параллельны, а $AK$ — секущая, то углы $\angle CKA$ и $\angle DBA$ равны как соответственные. Из равенств $\angle CAK = \angle CKA$ и $\angle CKA = \angle DBA$ следует, что $\angle CAK = \angle DBA$.

Рассмотрим треугольники $\triangle ABD$ и $\triangle BAC$. У них:

• сторона $AB$ — общая;
• диагонали $BD = AC$ (по условию);
• углы $\angle DBA = \angle CAB$ (как мы только что доказали).

Следовательно, треугольники $\triangle ABD$ и $\triangle BAC$ равны по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Из равенства этих треугольников следует и равенство их соответствующих сторон: $AD = BC$. Трапеция, у которой боковые стороны равны, называется равнобедренной.

Стоит отметить, что прямоугольник также удовлетворяет условиям задачи. Он является частным случаем равнобедренной трапеции (его противоположные стороны параллельны, а диагонали равны).

Таким образом, заданный четырёхугольник является равнобедренной трапецией.

Ответ: Равнобедренная трапеция.

432. Что можно сказать о векторе $\vec{AB}$, если $\vec{AB} = \vec{BA}$?

По определению, векторы $\vec{AB}$ и $\vec{BA}$ являются противоположными. Это означает, что они имеют одинаковую длину (модуль), но их направления противоположны. Математически это свойство записывается в виде следующего равенства:

$\vec{BA} = -\vec{AB}$

Согласно условию задачи, нам дано, что:

$\vec{AB} = \vec{BA}$

Теперь мы можем подставить первое выражение во второе:

$\vec{AB} = -\vec{AB}$

Для решения этого векторного уравнения перенесем вектор из правой части в левую:

$\vec{AB} + \vec{AB} = \vec{0}$

где $\vec{0}$ — это нулевой вектор.

Сложив векторы в левой части, получим:

$2 \cdot \vec{AB} = \vec{0}$

Разделив обе части уравнения на 2, мы приходим к выводу:

$\vec{AB} = \vec{0}$

Это означает, что вектор $\vec{AB}$ является нулевым вектором. Нулевой вектор — это вектор, длина которого равна нулю, а его начало и конец совпадают. Следовательно, точки $A$ и $B$ являются одной и той же точкой.

Ответ: Вектор $\vec{AB}$ является нулевым вектором. Это значит, что его длина равна нулю, а его начальная точка $A$ и конечная точка $B$ совпадают.

433. В прямоугольном треугольнике $ABC$ точка $M$ – середина гипотенузы $AB$ и $\angle B = 30^{\circ}$. Найдите модули векторов $\vec{AB}$ и $\vec{MC}$, если $AC = 2$ см.

Нахождение модуля вектора $\vec{AB}$

По условию, в треугольнике $ABC$ сторона $AB$ является гипотенузой, следовательно, треугольник $ABC$ — прямоугольный с прямым углом $\angle C = 90^\circ$. Нам известны длина катета $AC = 2$ см и величина противолежащего ему угла $\angle B = 30^\circ$.

Модуль вектора $\vec{AB}$ равен длине отрезка $AB$. В прямоугольном треугольнике катет, лежащий напротив угла в $30^\circ$, равен половине гипотенузы. То есть: $AC = \frac{1}{2} AB$.

Также можно использовать определение синуса острого угла: $\sin(\angle B) = \frac{AC}{AB}$.

Подставим известные значения, зная, что $\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$: $\frac{1}{2} = \frac{2}{AB}$.

Из этого уравнения находим длину гипотенузы $AB$: $AB = 2 \cdot 2 = 4$ см.

Таким образом, модуль вектора $\vec{AB}$ равен 4 см.

Ответ: $|\vec{AB}| = 4$ см.

Нахождение модуля вектора $\vec{MC}$

Модуль вектора $\vec{MC}$ равен длине отрезка $MC$. По условию, точка $M$ — середина гипотенузы $AB$. Следовательно, отрезок $MC$ является медианой, проведенной из вершины прямого угла $C$ к гипотенузе $AB$.

По свойству медианы в прямоугольном треугольнике, медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы: $MC = \frac{1}{2} AB$.

Из предыдущего пункта мы знаем, что длина гипотенузы $AB = 4$ см. Подставим это значение в формулу: $MC = \frac{1}{2} \cdot 4 = 2$ см.

Таким образом, модуль вектора $\vec{MC}$ равен 2 см.

Ответ: $|\vec{MC}| = 2$ см.

434. В прямоугольном треугольнике $ABC$ ($\angle C = 90^\circ$) медиана $CM$ равна 6 см. Найдите модули векторов $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$, если $\angle A = 30^\circ$.

По условию задачи, в прямоугольном треугольнике $ABC$ ($\angle C = 90^\circ$) проведена медиана $CM$ к гипотенузе $AB$. Длина медианы $CM$ равна 6 см, а угол $\angle A$ равен $30^\circ$. Требуется найти модули векторов $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$, что эквивалентно нахождению длин отрезков $AB$ и $AC$.

Модуль вектора $\vec{AB}$, обозначаемый как $|\vec{AB}|$, равен длине отрезка $AB$. В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная из вершины прямого угла к гипотенузе, равна половине гипотенузы.

Таким образом, мы можем записать соотношение: $CM = \frac{1}{2}AB$

Из этого соотношения выразим длину гипотенузы $AB$: $AB = 2 \cdot CM$

Подставим известное значение длины медианы $CM = 6$ см: $AB = 2 \cdot 6 = 12$ см.

Следовательно, модуль вектора $\vec{AB}$ равен 12 см.

Ответ: $|\vec{AB}| = 12$ см.

Модуль вектора $\vec{AC}$, обозначаемый как $|\vec{AC}|$, равен длине катета $AC$. Для его нахождения воспользуемся тригонометрическими соотношениями в прямоугольном треугольнике $ABC$. Нам известна длина гипотенузы $AB = 12$ см и величина угла $\angle A = 30^\circ$, который прилежит к катету $AC$.

Косинус острого угла в прямоугольном треугольнике равен отношению длины прилежащего катета к длине гипотенузы: $\cos(\angle A) = \frac{AC}{AB}$

Выразим отсюда длину катета $AC$: $AC = AB \cdot \cos(\angle A)$

Подставим известные значения. Мы знаем, что $\cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$. $AC = 12 \cdot \cos(30^\circ) = 12 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3}$ см.

Следовательно, модуль вектора $\vec{AC}$ равен $6\sqrt{3}$ см.

Ответ: $|\vec{AC}| = 6\sqrt{3}$ см.

435. Известно, что векторы $\vec{b}$ и $\vec{c}$ неколлинеарны. Вектор $\vec{a}$ коллинеарен каждому из векторов $\vec{b}$ и $\vec{c}$. Докажите, что вектор $\vec{a}$ является нулевым.

По условию задачи, векторы $\vec{b}$ и $\vec{c}$ являются неколлинеарными. Это означает, что они не лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Важным следствием этого является то, что ни $\vec{b}$, ни $\vec{c}$ не могут быть нулевым вектором, так как нулевой вектор по определению коллинеарен любому вектору. Таким образом, $\vec{b} \ne \vec{0}$ и $\vec{c} \ne \vec{0}$.

Также по условию, вектор $\vec{a}$ коллинеарен каждому из векторов $\vec{b}$ и $\vec{c}$.

Из того, что вектор $\vec{a}$ коллинеарен вектору $\vec{b}$, по определению коллинеарности следует, что существует такое действительное число $k_1$, для которого выполняется равенство:

$\vec{a} = k_1 \cdot \vec{b}$

Аналогично, из того, что вектор $\vec{a}$ коллинеарен вектору $\vec{c}$, следует, что существует такое действительное число $k_2$, для которого выполняется равенство:

$\vec{a} = k_2 \cdot \vec{c}$

Приравняем правые части этих двух выражений для вектора $\vec{a}$:

$k_1 \cdot \vec{b} = k_2 \cdot \vec{c}$

Рассмотрим это равенство. Допустим, что коэффициент $k_1$ не равен нулю ($k_1 \ne 0$). Тогда мы можем выразить вектор $\vec{b}$:

$\vec{b} = \frac{k_2}{k_1} \cdot \vec{c}$

Если мы обозначим частное $\frac{k_2}{k_1}$ как новую константу $k$, то получим $\vec{b} = k \cdot \vec{c}$. Это равенство является определением коллинеарности векторов $\vec{b}$ и $\vec{c}$. Однако это противоречит исходному условию, что векторы $\vec{b}$ и $\vec{c}$ неколлинеарны.

Значит, наше допущение о том, что $k_1 \ne 0$, было неверным. Следовательно, единственно возможный вариант — это $k_1 = 0$.

Теперь подставим это значение $k_1 = 0$ в первое уравнение:

$\vec{a} = 0 \cdot \vec{b}$

Произведение любого вектора на скаляр 0 равно нулевому вектору. Таким образом, мы получаем:

$\vec{a} = \vec{0}$

Что и требовалось доказать.

Ответ: Вектор $\vec{a}$ является нулевым.

436. Известно, что векторы $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{AC}$ коллинеарны. Докажите, что точки $A, B$ и $C$ лежат на одной прямой. Верно ли обратное утверждение: если точки $A, B$ и $C$ лежат на одной прямой, то векторы $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{AC}$ коллинеарны?

Докажите, что точки A, B и C лежат на одной прямой.

По определению, два вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых.

Рассмотрим векторы $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{AC}$. У них общее начало — точка A.

Вектор $\overrightarrow{AB}$ лежит на прямой, проходящей через точки A и B. Назовем ее прямой $l_1$.
Вектор $\overrightarrow{AC}$ лежит на прямой, проходящей через точки A и C. Назовем ее прямой $l_2$.

Поскольку векторы $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{AC}$ коллинеарны, то прямые $l_1$ и $l_2$, на которых они лежат, либо совпадают, либо параллельны.

Однако обе эти прямые ($l_1$ и $l_2$) проходят через общую точку A. Через одну точку не может проходить две различные параллельные прямые. Следовательно, прямые $l_1$ и $l_2$ должны совпадать.

Так как точка B лежит на прямой $l_1$, а точка C — на прямой $l_2$, и прямые $l_1$ и $l_2$ совпадают, то точки A, B и C лежат на одной и той же прямой. Что и требовалось доказать.

Альтернативное доказательство:
Из коллинеарности векторов $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{AC}$ следует, что существует такое действительное число $k$, что выполняется равенство $\overrightarrow{AC} = k \cdot \overrightarrow{AB}$ (если $\overrightarrow{AB} \neq \vec{0}$). Это равенство показывает, что вектор $\overrightarrow{AC}$ получается из вектора $\overrightarrow{AB}$ умножением на скаляр. Так как оба вектора отложены от одной точки A, их концы (точки C и B) должны лежать на одной прямой, проходящей через точку A. Таким образом, точки A, B и C лежат на одной прямой. Если же $\overrightarrow{AB} = \vec{0}$, то A=B, и тогда коллинеарный ему вектор $\overrightarrow{AC}$ также должен быть нулевым ($\overrightarrow{AC}=\vec{0}$), что означает A=C. В этом случае все три точки совпадают и, следовательно, лежат на одной прямой.

Ответ: Утверждение доказано.

Верно ли обратное утверждение: если точки A, B и C лежат на одной прямой, то векторы $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{AC}$ коллинеарны?

Да, обратное утверждение верно.

Пусть точки A, B и C лежат на одной прямой, назовем ее $l$.

Вектор $\overrightarrow{AB}$ определяется двумя точками A и B. Поскольку обе эти точки лежат на прямой $l$, то и весь вектор $\overrightarrow{AB}$ лежит на этой прямой.

Аналогично, вектор $\overrightarrow{AC}$ определяется точками A и C. Так как они обе лежат на прямой $l$, то и вектор $\overrightarrow{AC}$ лежит на этой же прямой.

По определению, векторы, лежащие на одной прямой, являются коллинеарными. Следовательно, векторы $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{AC}$ коллинеарны.

Ответ: Да, обратное утверждение верно.

437. Для четырёх точек $A, B, C$ и $D$ известно, что $\vec{AB} = \vec{CD}$. Докажите, что середины отрезков $AD$ и $BC$ совпадают. Докажите обратное утверждение: если середины отрезков $AD$ и $BC$ совпадают, то $\vec{AB} = \vec{CD}$.

Доказательство того, что середины отрезков AD и BC совпадают

Пусть $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}, \vec{d}$ — радиус-векторы точек $A, B, C, D$ соответственно, отложенные от некоторого начала координат. Условие $\vec{AB} = \vec{CD}$ в терминах радиус-векторов записывается как:

$\vec{b} - \vec{a} = \vec{d} - \vec{c}$

Перегруппируем это равенство, собрав векторы, относящиеся к точкам $A$ и $D$, с одной стороны, а к точкам $B$ и $C$ — с другой:

$\vec{a} + \vec{d} = \vec{b} + \vec{c}$

Пусть $M$ — середина отрезка $AD$, а $N$ — середина отрезка $BC$. Их радиус-векторы $\vec{m}$ и $\vec{n}$ определяются формулами:

$\vec{m} = \frac{\vec{a} + \vec{d}}{2}$

$\vec{n} = \frac{\vec{b} + \vec{c}}{2}$

Поскольку из условия следует, что $\vec{a} + \vec{d} = \vec{b} + \vec{c}$, мы можем разделить обе части этого равенства на 2:

$\frac{\vec{a} + \vec{d}}{2} = \frac{\vec{b} + \vec{c}}{2}$

Отсюда следует, что $\vec{m} = \vec{n}$. Равенство радиус-векторов означает, что точки $M$ и $N$ совпадают. Таким образом, середины отрезков $AD$ и $BC$ совпадают, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.

Доказательство обратного утверждения

Докажем, что если середины отрезков $AD$ и $BC$ совпадают, то $\vec{AB} = \vec{CD}$.

Пусть середины отрезков $AD$ и $BC$ совпадают в некоторой точке $M$. Как и в предыдущем доказательстве, воспользуемся радиус-векторами $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}, \vec{d}$ для точек $A, B, C, D$.

Поскольку $M$ — середина отрезка $AD$, её радиус-вектор $\vec{m}$ равен:

$\vec{m} = \frac{\vec{a} + \vec{d}}{2}$

Поскольку $M$ также является серединой отрезка $BC$, её радиус-вектор также равен:

$\vec{m} = \frac{\vec{b} + \vec{c}}{2}$

Приравнивая эти два выражения для $\vec{m}$, получаем:

$\frac{\vec{a} + \vec{d}}{2} = \frac{\vec{b} + \vec{c}}{2}$

Умножив обе части равенства на 2, получим:

$\vec{a} + \vec{d} = \vec{b} + \vec{c}$

Нам необходимо доказать, что $\vec{AB} = \vec{CD}$. В векторной форме это означает, что нужно доказать равенство $\vec{b} - \vec{a} = \vec{d} - \vec{c}$. Перегруппируем члены в полученном нами равенстве $\vec{a} + \vec{d} = \vec{b} + \vec{c}$:

$\vec{b} - \vec{a} = \vec{d} - \vec{c}$

Это и есть векторное равенство $\vec{AB} = \vec{CD}$. Таким образом, обратное утверждение доказано.

Ответ: Утверждение доказано.

438. Известно, что $\vec{MO} = \vec{ON}$. Докажите, что точка $O$ – середина отрезка $MN$. Докажите обратное утверждение: если точка $O$ – середина отрезка $MN$, то $\vec{MO} = \vec{ON}$.

Докажите, что точка O — середина отрезка MN

По условию дано равенство векторов $\overrightarrow{MO} = \overrightarrow{ON}$.
По определению, два вектора равны, если они сонаправлены (имеют одинаковое направление) и их длины (модули) равны.
1. Из равенства длин векторов следует, что $|\overrightarrow{MO}| = |\overrightarrow{ON}|$. Длина вектора равна длине отрезка, соединяющего его начало и конец. Следовательно, длины отрезков $MO$ и $ON$ также равны: $MO = ON$.
2. Из того, что векторы $\overrightarrow{MO}$ и $\overrightarrow{ON}$ сонаправлены и имеют общую точку $O$ (которая является концом первого вектора и началом второго), следует, что точки $M$, $O$ и $N$ лежат на одной прямой. При этом точка $O$ расположена между точками $M$ и $N$.
Таким образом, точка $O$ лежит на отрезке $MN$ и делит его на два равных отрезка ($MO = ON$). По определению, такая точка является серединой отрезка.
Следовательно, точка $O$ — середина отрезка $MN$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.

Докажите обратное утверждение: если точка O — середина отрезка MN, то $\overrightarrow{MO} = \overrightarrow{ON}$

По условию, точка $O$ — середина отрезка $MN$.
По определению середины отрезка, это означает, что:
1. Точки $M$, $O$ и $N$ лежат на одной прямой, причем точка $O$ находится между точками $M$ и $N$.
2. Длины отрезков $MO$ и $ON$ равны: $MO = ON$.
Для доказательства равенства векторов $\overrightarrow{MO} = \overrightarrow{ON}$ необходимо показать, что они имеют одинаковую длину и одинаковое направление.
- Длина векторов: Длина вектора $\overrightarrow{MO}$ равна длине отрезка $MO$. Длина вектора $\overrightarrow{ON}$ равна длине отрезка $ON$. Поскольку по условию $MO = ON$, то и длины векторов равны: $|\overrightarrow{MO}| = |\overrightarrow{ON}|$.
- Направление векторов: Вектор $\overrightarrow{MO}$ направлен от точки $M$ к точке $O$. Вектор $\overrightarrow{ON}$ направлен от точки $O$ к точке $N$. Так как точки $M$, $O$, $N$ лежат на одной прямой в указанном порядке, оба вектора направлены в одну и ту же сторону вдоль этой прямой. Следовательно, векторы $\overrightarrow{MO}$ и $\overrightarrow{ON}$ сонаправлены.
Поскольку векторы $\overrightarrow{MO}$ и $\overrightarrow{ON}$ имеют равные длины и сонаправлены, они равны по определению равенства векторов: $\overrightarrow{MO} = \overrightarrow{ON}$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.

439. Один из углов параллелограмма равен полусумме трёх остальных его углов. Найдите углы параллелограмма.

Обозначим углы параллелограмма как $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ и $\delta$. Сумма всех углов параллелограмма равна $360^\circ$:

$\alpha + \beta + \gamma + \delta = 360^\circ$

По условию задачи один из углов, пусть это будет $\alpha$, равен полусумме трёх остальных его углов. Запишем это в виде уравнения:

$\alpha = \frac{\beta + \gamma + \delta}{2}$

Из первого уравнения выразим сумму углов $\beta + \gamma + \delta$:

$\beta + \gamma + \delta = 360^\circ - \alpha$

Теперь подставим это выражение во второе уравнение:

$\alpha = \frac{360^\circ - \alpha}{2}$

Решим полученное уравнение относительно $\alpha$:

$2\alpha = 360^\circ - \alpha$

$2\alpha + \alpha = 360^\circ$

$3\alpha = 360^\circ$

$\alpha = \frac{360^\circ}{3}$

$\alpha = 120^\circ$

Мы нашли один из углов параллелограмма, он равен $120^\circ$. В параллелограмме противолежащие углы равны, значит, угол, противолежащий углу $\alpha$, также равен $120^\circ$.

Сумма углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма, составляет $180^\circ$. Найдем второй угол, смежный с углом $\alpha$ (обозначим его $\beta$):

$\beta = 180^\circ - \alpha = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$

Противолежащий ему угол также будет равен $60^\circ$.

Таким образом, углы параллелограмма — это два угла по $60^\circ$ и два угла по $120^\circ$.

Ответ: $60^\circ, 120^\circ, 60^\circ, 120^\circ$.

440. Периметр одного из двух подобных треугольников на 8 см больше периметра другого треугольника. Найдите периметры данных треугольников, если коэффициент подобия равен $ \frac{1}{3} $.

Пусть $P_1$ и $P_2$ — периметры двух подобных треугольников. Согласно свойству подобных фигур, отношение их периметров равно коэффициенту подобия $k$.

Из условия известно, что коэффициент подобия $k = \frac{1}{3}$. Обозначим периметр меньшего треугольника как $P_1$, а периметр большего — как $P_2$. Тогда их отношение равно:

$\frac{P_1}{P_2} = \frac{1}{3}$

Отсюда можно выразить $P_2$ через $P_1$:

$P_2 = 3P_1$

Также по условию дано, что периметр одного треугольника на 8 см больше периметра другого. Поскольку $P_2$ — периметр большего треугольника, то:

$P_2 - P_1 = 8$

Теперь мы имеем систему из двух уравнений. Подставим выражение для $P_2$ из первого уравнения во второе:

$3P_1 - P_1 = 8$

$2P_1 = 8$

$P_1 = \frac{8}{2} = 4$ (см)

Теперь найдем периметр второго треугольника:

$P_2 = 3P_1 = 3 \cdot 4 = 12$ (см)

Проверим: разница периметров $12 - 4 = 8$ см, что соответствует условию.

Ответ: периметры треугольников равны 4 см и 12 см.

441. На сторонах $BC$ и $AD$ ромба $ABCD$ отметили соответственно точки $M$ и $K$ такие, что $BM : MC = KD : AK = 1 : 2$. Найдите отрезок $MK$, если $AB = a$, $\angle ABC = 60^\circ$.

441.

Поскольку $ABCD$ — ромб, все его стороны равны: $AB = BC = CD = DA = a$. Противоположные стороны параллельны, в частности, $AD \parallel BC$. Сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна $180^\circ$. Так как по условию $\angle ABC = 60^\circ$, то $\angle BCD = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$.

Точка $M$ делит сторону $BC$ в отношении $BM : MC = 1 : 2$. Длина стороны $BC = a$, следовательно, $BM = \frac{1}{1+2} BC = \frac{1}{3}a$ и $MC = \frac{2}{1+2} BC = \frac{2}{3}a$.

Точка $K$ делит сторону $AD$ в отношении $KD : AK = 1 : 2$. Длина стороны $AD = a$, следовательно, $KD = \frac{1}{1+2} AD = \frac{1}{3}a$ и $AK = \frac{2}{1+2} AD = \frac{2}{3}a$.

Для нахождения длины отрезка $MK$ воспользуемся методом достроения. Проведем через точку $K$ прямую, параллельную стороне $CD$, до пересечения с прямой $BC$ в точке $N$. Полученный четырехугольник $KNDC$ является параллелограммом, так как $KN \parallel DC$ по построению, а $KD \parallel NC$ как отрезки параллельных прямых $AD$ и $BC$.

Из свойств параллелограмма $KNDC$ следует, что его противоположные стороны равны: $KN = DC = a$ и $NC = KD = \frac{1}{3}a$.

Рассмотрим треугольник $\triangle KMN$. Найдем длины двух его сторон и угол между ними.

Сторона $MN$: Точки $M$, $N$, $C$ лежат на одной прямой $BC$. Отсчитывая от точки $C$, мы имеем $MC = \frac{2}{3}a$ и $NC = \frac{1}{3}a$. Это означает, что точка $N$ лежит на отрезке $MC$. Длина отрезка $MN$ равна разности длин отрезков $MC$ и $NC$:

$MN = MC - NC = \frac{2}{3}a - \frac{1}{3}a = \frac{1}{3}a$.

Угол $\angle KNM$: Так как в ромбе $ABCD$ сторона $AB \parallel CD$, а по нашему построению $KN \parallel CD$, то $KN \parallel AB$. Угол между прямыми $KN$ и $BC$ равен углу между параллельными им прямыми $AB$ и $BC$, то есть $\angle ABC = 60^\circ$. Таким образом, угол $\angle KNC = 60^\circ$. Поскольку точки $M$, $N$, $C$ лежат на одной прямой, угол $\angle KNM$ и угол $\angle KNC$ являются смежными. Следовательно, их сумма равна $180^\circ$:

$\angle KNM = 180^\circ - \angle KNC = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$.

Теперь мы можем найти длину искомой стороны $MK$ по теореме косинусов для треугольника $\triangle KMN$:

$MK^2 = KN^2 + MN^2 - 2 \cdot KN \cdot MN \cdot \cos(\angle KNM)$

Подставим известные значения:

$MK^2 = a^2 + \left(\frac{a}{3}\right)^2 - 2 \cdot a \cdot \frac{a}{3} \cdot \cos(120^\circ)$

Так как $\cos(120^\circ) = -1/2$, получаем:

$MK^2 = a^2 + \frac{a^2}{9} - 2 \cdot \frac{a^2}{3} \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)$

$MK^2 = a^2 + \frac{a^2}{9} + \frac{a^2}{3}$

Приводя слагаемые к общему знаменателю, находим:

$MK^2 = \frac{9a^2}{9} + \frac{a^2}{9} + \frac{3a^2}{9} = \frac{13a^2}{9}$

Извлекая квадратный корень, получаем длину отрезка $MK$:

$MK = \sqrt{\frac{13a^2}{9}} = \frac{a\sqrt{13}}{3}$

Ответ: $ \frac{a\sqrt{13}}{3} $