Страница 113 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

463. Два равных равнобедренных треугольника $ADB$ и $CBD$ ($AB = BD = CD$) имеют общую боковую сторону (рис. 107). Определите вид четырёхугольника $ABCD$.

Рассмотрим четырёхугольник $ABCD$. Согласно условию, он состоит из двух равных равнобедренных треугольников $ADB$ и $CBD$ с общей стороной $BD$.

В условии указано, что $AB = BD = CD$. Это означает, что:

1. В треугольнике $ADB$ стороны $AB$ и $BD$ равны. Следовательно, $\triangle ADB$ — равнобедренный с основанием $AD$.
2. В треугольнике $CBD$ стороны $CD$ и $BD$ равны. Следовательно, $\triangle CBD$ — равнобедренный с основанием $BC$.

Рассмотрим стороны четырёхугольника $ABCD$.

Из условия $AB = BD = CD$ следует, что противолежащие стороны $AB$ и $CD$ четырёхугольника равны: $AB = CD$.

Так как по условию треугольники $ADB$ и $CBD$ равны ($ \triangle ADB = \triangle CBD $), то и все их соответствующие элементы равны. Сравним их стороны: у $\triangle ADB$ стороны равны $AB, BD, AD$; у $\triangle CBD$ стороны равны $CD, BD, BC$. Поскольку $AB = CD$ и сторона $BD$ у них общая, то и третьи стороны этих треугольников должны быть равны, то есть $AD = BC$.

Таким образом, в четырёхугольнике $ABCD$ противолежащие стороны попарно равны: $AB = CD$ и $AD = BC$.

По признаку параллелограмма, если у четырёхугольника противолежащие стороны попарно равны, то такой четырёхугольник является параллелограммом.

Следовательно, четырёхугольник $ABCD$ — это параллелограмм.

Ответ: Параллелограмм.

464. Периметр треугольника равен 48 см, а его биссектриса делит противолежащую сторону на отрезки длиной 5 см и 15 см. Найдите стороны треугольника.

Пусть стороны треугольника равны $a, b$ и $c$. Периметр треугольника $P = a + b + c = 48$ см.

Пусть биссектриса, проведенная к стороне $a$, делит ее на отрезки длиной 5 см и 15 см. Тогда длина стороны $a$ равна сумме длин этих отрезков:

$a = 5 + 15 = 20$ см.

Зная одну из сторон, мы можем найти сумму двух других сторон из формулы периметра:

$b + c = P - a = 48 - 20 = 28$ см.

Согласно свойству биссектрисы угла треугольника, она делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам. Это означает, что отношение двух других сторон треугольника ($b$ и $c$) равно отношению отрезков, на которые биссектриса разделила третью сторону:

$\frac{b}{c} = \frac{15}{5}$ или $\frac{b}{c} = \frac{5}{15}$.

Рассмотрим первый случай: $\frac{b}{c} = \frac{15}{5} = 3$. Отсюда $b = 3c$.

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

$\begin{cases}b + c = 28 \\b = 3c\end{cases}$

Подставим второе уравнение в первое:

$3c + c = 28$

$4c = 28$

$c = \frac{28}{4} = 7$ см.

Теперь найдем сторону $b$:

$b = 3c = 3 \times 7 = 21$ см.

Таким образом, стороны треугольника равны 20 см, 21 см и 7 см.

Проверим, выполняется ли неравенство треугольника:$7 + 20 > 21$ (27 > 21 - верно)$7 + 21 > 20$ (28 > 20 - верно)$20 + 21 > 7$ (41 > 7 - верно)Треугольник с такими сторонами существует.

Если бы мы выбрали второе соотношение $\frac{b}{c} = \frac{5}{15} = \frac{1}{3}$, то получили бы $c = 3b$. Решение системы привело бы к тем же длинам сторон, только $b$ и $c$ поменялись бы местами.

Ответ: стороны треугольника равны 7 см, 20 см и 21 см.

465. Боковая сторона равнобокой трапеции, описанной около окружности, равна $a$, а один из углов – $60^\circ$. Найдите площадь трапеции.

Пусть дана равнобокая трапеция, у которой боковая сторона равна $a$, а один из углов равен $60°$. Так как трапеция равнобокая, то углы при основании равны. Угол в $60°$ должен быть острым углом при большем основании, так как в противном случае тупой угол был бы $60°$, а острый — $120°$, что невозможно.

Поскольку трапеция описана около окружности, суммы ее противоположных сторон равны. Обозначим основания трапеции как $b_1$ и $b_2$, а боковые стороны как $c_1$ и $c_2$. Тогда:$b_1 + b_2 = c_1 + c_2$Так как трапеция равнобокая, ее боковые стороны равны $a$.$b_1 + b_2 = a + a = 2a$

Площадь трапеции $S$ находится по формуле:$S = \frac{b_1 + b_2}{2} \cdot h$где $h$ — высота трапеции.Подставим в формулу найденную сумму оснований:$S = \frac{2a}{2} \cdot h = a \cdot h$

Для нахождения площади осталось найти высоту $h$. Проведем высоту из вершины тупого угла к большему основанию. Получим прямоугольный треугольник, в котором гипотенузой является боковая сторона трапеции $a$, один из углов равен $60°$, а противолежащий этому углу катет — высота $h$.Из определения синуса в прямоугольном треугольнике:$\sin(60°) = \frac{h}{a}$Отсюда выразим высоту:$h = a \cdot \sin(60°) = a \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$

Теперь подставим значение высоты в формулу для площади:$S = a \cdot h = a \cdot \left(a \frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{a^2\sqrt{3}}{2}$

Ответ: $\frac{a^2\sqrt{3}}{2}$