Страница 112 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

452. Среди векторов $\vec{a} (3; -4)$, $\vec{b} (-4; 2)$, $\vec{c} (3; \sqrt{11})$, $\vec{d} (-2; -4)$, $\vec{e} (-1; -2\sqrt{6})$, $\vec{f} (-4; 5)$ найдите те, которые имеют равные модули.

Чтобы найти векторы с равными модулями, необходимо вычислить модуль (длину) каждого вектора. Модуль вектора $\vec{v}$ с координатами $(x; y)$ вычисляется по формуле: $|\vec{v}| = \sqrt{x^2 + y^2}$.

Вычислим модули для каждого из заданных векторов:

• Для вектора $\vec{a}(3; -4)$:

  $|\vec{a}| = \sqrt{3^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$

• Для вектора $\vec{b}(-4; 2)$:

  $|\vec{b}| = \sqrt{(-4)^2 + 2^2} = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20}$

• Для вектора $\vec{c}(3; \sqrt{11})$:

  $|\vec{c}| = \sqrt{3^2 + (\sqrt{11})^2} = \sqrt{9 + 11} = \sqrt{20}$

• Для вектора $\vec{d}(-2; -4)$:

  $|\vec{d}| = \sqrt{(-2)^2 + (-4)^2} = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20}$

• Для вектора $\vec{e}(-1; -2\sqrt{6})$:

  $|\vec{e}| = \sqrt{(-1)^2 + (-2\sqrt{6})^2} = \sqrt{1 + 4 \cdot 6} = \sqrt{1 + 24} = \sqrt{25} = 5$

• Для вектора $\vec{f}(-4; 5)$:

  $|\vec{f}| = \sqrt{(-4)^2 + 5^2} = \sqrt{16 + 25} = \sqrt{41}$

Сравнив полученные значения, мы видим, что есть две группы векторов с равными модулями:

1. Векторы $\vec{a}$ и $\vec{e}$ имеют одинаковый модуль, равный $5$: $|\vec{a}| = |\vec{e}| = 5$.

2. Векторы $\vec{b}$, $\vec{c}$ и $\vec{d}$ имеют одинаковый модуль, равный $\sqrt{20}$: $|\vec{b}| = |\vec{c}| = |\vec{d}| = \sqrt{20}$.

Ответ: Равные модули имеют векторы $\vec{a}$ и $\vec{e}$, а также векторы $\vec{b}$, $\vec{c}$ и $\vec{d}$.

453. Даны точки $A (1; -4)$, $B (-2; 5)$, $C (1 + a; -4 + b)$, $D (-2 + a; 5 + b)$. Докажите, что $|\vec{AC}| = |\vec{BD}|$.

Для того чтобы доказать, что длины векторов $\vec{AC}$ и $\vec{BD}$ равны, необходимо найти координаты этих векторов, а затем вычислить их длины (модули).

Координаты вектора находятся путем вычитания соответствующих координат начальной точки из координат конечной точки.

1. Найдем координаты вектора $\vec{AC}$

Начало вектора в точке $A(1; -4)$, конец в точке $C(1+a; -4+b)$.

Координаты вектора $\vec{AC}$ равны: $((1+a) - 1; (-4+b) - (-4))$.

Выполним вычисления:

$x_{AC} = 1 + a - 1 = a$

$y_{AC} = -4 + b + 4 = b$

Таким образом, вектор $\vec{AC}$ имеет координаты $(a; b)$, то есть $\vec{AC} = (a; b)$.

2. Найдем координаты вектора $\vec{BD}$

Начало вектора в точке $B(-2; 5)$, конец в точке $D(-2+a; 5+b)$.

Координаты вектора $\vec{BD}$ равны: $((-2+a) - (-2); (5+b) - 5)$.

Выполним вычисления:

$x_{BD} = -2 + a + 2 = a$

$y_{BD} = 5 + b - 5 = b$

Таким образом, вектор $\vec{BD}$ имеет координаты $(a; b)$, то есть $\vec{BD} = (a; b)$.

3. Сравним длины векторов

Мы выяснили, что векторы $\vec{AC}$ и $\vec{BD}$ имеют одинаковые координаты, следовательно, эти векторы равны: $\vec{AC} = \vec{BD}$. Равные векторы имеют равные длины.

Длина (модуль) вектора $\vec{v}(x; y)$ вычисляется по формуле $|\vec{v}| = \sqrt{x^2 + y^2}$.

Вычислим длину вектора $\vec{AC}(a; b)$:

$|\vec{AC}| = \sqrt{a^2 + b^2}$

Вычислим длину вектора $\vec{BD}(a; b)$:

$|\vec{BD}| = \sqrt{a^2 + b^2}$

Следовательно, $|\vec{AC}| = |\vec{BD}|$, что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство $|\vec{AC}| = |\vec{BD}|$ доказано.

кажите, что $|AC|=|BD|$.

454. Найдите все значения x, при которых модуль вектора $\vec{a} (x; -8)$ равен 10.

Модуль (или длина) вектора $\vec{a}$ с координатами $(a_x; a_y)$ вычисляется по формуле: $|\vec{a}| = \sqrt{a_x^2 + a_y^2}$.

По условию задачи, нам дан вектор $\vec{a}(x; -8)$, и его модуль равен 10. Составим уравнение, подставив координаты вектора и значение его модуля в формулу:

$\sqrt{x^2 + (-8)^2} = 10$

Чтобы решить это уравнение, возведем обе его части в квадрат:

$(\sqrt{x^2 + (-8)^2})^2 = 10^2$

$x^2 + 64 = 100$

Теперь перенесем 64 в правую часть уравнения, чтобы найти значение $x^2$:

$x^2 = 100 - 64$

$x^2 = 36$

Из этого уравнения находим значения $x$, извлекая квадратный корень:

$x_1 = \sqrt{36} = 6$

$x_2 = -\sqrt{36} = -6$

Следовательно, модуль вектора $\vec{a}(x; -8)$ равен 10 при двух значениях $x$.

Ответ: -6; 6.

455. При каких значениях $y$ модуль вектора $\vec{b}(12; y)$ равен 13?

Модуль (или длина) вектора с координатами $(x; y)$ вычисляется по формуле $\sqrt{x^2 + y^2}$.

В нашем случае дан вектор $\vec{b}(12; y)$, и его модуль равен 13. Составим уравнение на основе формулы модуля вектора:

$|\vec{b}| = \sqrt{12^2 + y^2} = 13$

Чтобы избавиться от знака корня, возведем обе части уравнения в квадрат:

$(\sqrt{12^2 + y^2})^2 = 13^2$

$12^2 + y^2 = 13^2$

Вычислим значения квадратов:

$144 + y^2 = 169$

Теперь выразим $y^2$:

$y^2 = 169 - 144$

$y^2 = 25$

Из этого следует, что $y$ может принимать два значения, так как квадратный корень из 25 может быть как положительным, так и отрицательным числом:

$y = \sqrt{25}$ или $y = -\sqrt{25}$

$y = 5$ или $y = -5$

Ответ: при $y = 5$ и $y = -5$.

456. Отрезок $BM$ – медиана треугольника с вершинами $A (3; -5)$, $B (2; -3)$, $C (-1; 7)$. Найдите координаты и модуль вектора $\overline{BM}$.

Поскольку отрезок $BM$ является медианой треугольника $ABC$, точка $M$ является серединой стороны $AC$. Для решения задачи сначала необходимо найти координаты точки $M$.

Координаты середины отрезка вычисляются как среднее арифметическое соответствующих координат его концов. Для отрезка $AC$ с концами в точках $A(3; -5)$ и $C(-1; 7)$ имеем:

Координата $x$ точки $M$: $x_M = \frac{x_A + x_C}{2} = \frac{3 + (-1)}{2} = \frac{2}{2} = 1$.

Координата $y$ точки $M$: $y_M = \frac{y_A + y_C}{2} = \frac{-5 + 7}{2} = \frac{2}{2} = 1$.

Таким образом, координаты точки $M$ — $(1; 1)$.

Теперь, зная координаты начала вектора, точки $B(2; -3)$, и конца вектора, точки $M(1; 1)$, мы можем найти координаты самого вектора $\vec{BM}$. Координаты вектора равны разности соответствующих координат его конца и начала:

$\vec{BM} = (x_M - x_B; y_M - y_B) = (1 - 2; 1 - (-3)) = (-1; 4)$.

Далее найдем модуль (длину) вектора $\vec{BM}$. Модуль вектора с координатами $(x; y)$ вычисляется по формуле $|\vec{v}| = \sqrt{x^2 + y^2}$.

Для вектора $\vec{BM}(-1; 4)$ его модуль равен:

$|\vec{BM}| = \sqrt{(-1)^2 + 4^2} = \sqrt{1 + 16} = \sqrt{17}$.

Ответ: Координаты вектора $\vec{BM}$ равны $(-1; 4)$, а его модуль равен $\sqrt{17}$.

457. Точка $F$ делит сторону $BC$ прямоугольника $ABCD$ в отношении $1 : 2$, считая от вершины $B$ (рис. 105). Найдите координаты векторов $\vec{AF}$ и $\vec{FD}$.

Рис. 105

Для решения задачи сначала определим координаты вершин прямоугольника A, B, C, D и точки F, используя данные из условия и рисунка.

1. Определение координат точек.

Из рисунка видно, что вершины C и D лежат на оси Ox. Их x-координаты равны 3 и 5 соответственно. Таким образом, координаты этих точек: $C(3, 0)$ и $D(5, 0)$.

Поскольку ABCD — прямоугольник, его стороны BC и AD параллельны оси Oy, а сторона AB параллельна оси Ox.

Точка F лежит на стороне BC, поэтому ее x-координата совпадает с x-координатой точки C, то есть $x_F = 3$. Из рисунка видно, что y-координата точки F равна -4. Следовательно, координаты точки $F(3, -4)$.

По условию, точка F делит сторону BC в отношении $BF : FC = 1 : 2$. Длина отрезка FC, как разность y-координат, равна: $FC = |y_C - y_F| = |0 - (-4)| = 4$.

Из отношения $BF = \frac{1}{2} FC$ находим длину отрезка BF: $BF = \frac{1}{2} \cdot 4 = 2$.

Точка F находится на отрезке BC, и так как $y_C > y_F$, точка B находится ниже точки F. y-координата точки B равна: $y_B = y_F - BF = -4 - 2 = -6$. x-координата точки B такая же, как у C, то есть $x_B = 3$. Координаты точки B: $B(3, -6)$.

Теперь найдем координаты точки A. Так как AB параллельна Ox, $y_A = y_B = -6$. Так как AD параллельна Oy, $x_A = x_D = 5$. Координаты точки A: $A(5, -6)$.

Итак, мы определили координаты всех необходимых точек: $A(5, -6)$, $F(3, -4)$, и $D(5, 0)$.

2. Нахождение координат векторов.

Координаты вектора $\vec{AF}$

Координаты вектора вычисляются как разность соответствующих координат его конца и начала. Для вектора $\vec{AF}$ с началом в точке $A(5, -6)$ и концом в точке $F(3, -4)$ получаем:

$\vec{AF} = (x_F - x_A, y_F - y_A) = (3 - 5, -4 - (-6)) = (-2, 2)$.

Ответ: $\vec{AF} = (-2, 2)$.

Координаты вектора $\vec{FD}$

Для вектора $\vec{FD}$ с началом в точке $F(3, -4)$ и концом в точке $D(5, 0)$ получаем:

$\vec{FD} = (x_D - x_F, y_D - y_F) = (5 - 3, 0 - (-4)) = (2, 4)$.

Ответ: $\vec{FD} = (2, 4)$.

458. Точка E – середина стороны AC прямоугольника OACD. Найдите координаты векторов $\vec{DE}$ и $\vec{EO}$ (рис. 106).

Для нахождения координат векторов $\vec{DE}$ и $\vec{EO}$ сначала определим координаты точек $O, A, C, D, E$ на основе данных из рисунка 106.

1. Определение координат вершин прямоугольника и точки E.

Из рисунка видно, что:

• Точка $O$ — начало координат, следовательно, ее координаты $O(0; 0)$.
• Точка $A$ лежит на оси $y$, следовательно, ее координаты $A(0; 6)$.
• Точка $D$ лежит на оси $x$, следовательно, ее координаты $D(8; 0)$.

Поскольку $OACD$ — прямоугольник, его стороны $OA$ и $CD$ параллельны и равны, а также $OD$ и $AC$ параллельны и равны. Стороны $OA$ и $OD$ лежат на осях координат, значит, стороны прямоугольника параллельны осям. Координаты точки $C$ будут равны абсциссе точки $D$ и ординате точки $A$. Таким образом, координаты точки $C(8; 6)$.

Точка $E$ является серединой стороны $AC$. Найдем ее координаты по формуле координат середины отрезка:

$x_E = \frac{x_A + x_C}{2} = \frac{0 + 8}{2} = 4$

$y_E = \frac{y_A + y_C}{2} = \frac{6 + 6}{2} = 6$

Следовательно, координаты точки $E(4; 6)$.

2. Нахождение координат векторов.

Координаты вектора находятся как разность соответствующих координат его конца и начала.

Координаты вектора $\vec{DE}$

Начало вектора — точка $D(8; 0)$, конец — точка $E(4; 6)$.

$\vec{DE} = (x_E - x_D; y_E - y_D) = (4 - 8; 6 - 0) = (-4; 6)$

Ответ: $\vec{DE}(-4; 6)$

Координаты вектора $\vec{EO}$

Начало вектора — точка $E(4; 6)$, конец — точка $O(0; 0)$.

$\vec{EO} = (x_O - x_E; y_O - y_E) = (0 - 4; 0 - 6) = (-4; -6)$

Ответ: $\vec{EO}(-4; -6)$

459. Модуль вектора $\vec{a}$ равен 10. Его первая координата на 2 больше второй. Найдите координаты вектора $\vec{a}$.

Пусть координаты вектора $\vec{a}$ равны $(x; y)$.

Согласно условию, модуль вектора $|\vec{a}|$ равен 10. Модуль вектора с координатами $(x; y)$ вычисляется по формуле:
$|\vec{a}| = \sqrt{x^2 + y^2}$

Таким образом, получаем первое уравнение:
$\sqrt{x^2 + y^2} = 10$

Возведя обе части в квадрат, получим:
$x^2 + y^2 = 100$

Также, по условию, первая координата ($x$) на 2 больше второй ($y$). Это дает нам второе уравнение:
$x = y + 2$

Теперь решим систему из двух уравнений:
$\begin{cases} x^2 + y^2 = 100 \\ x = y + 2 \end{cases}$

Подставим выражение для $x$ из второго уравнения в первое:
$(y + 2)^2 + y^2 = 100$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
$(y^2 + 4y + 4) + y^2 = 100$
$2y^2 + 4y + 4 = 100$
$2y^2 + 4y - 96 = 0$

Разделим все члены уравнения на 2, чтобы упростить его:
$y^2 + 2y - 48 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Можно использовать дискриминант или теорему Виета. По теореме Виета, сумма корней равна -2, а их произведение равно -48. Этим условиям удовлетворяют числа 6 и -8.
$y_1 = 6$
$y_2 = -8$

Теперь найдем соответствующие значения $x$ для каждого найденного $y$, используя формулу $x = y + 2$:

1. Если $y_1 = 6$, то $x_1 = 6 + 2 = 8$.
Таким образом, один из возможных векторов имеет координаты (8; 6).

2. Если $y_2 = -8$, то $x_2 = -8 + 2 = -6$.
Таким образом, второй возможный вектор имеет координаты (-6; -8).

Задача имеет два решения.

Ответ: (8; 6) или (-6; -8).

460. Модуль вектора $\vec{c}$ равен 2, а его координаты равны. Найдите координаты вектора $\vec{c}$.

Пусть координаты вектора $\vec{c}$ равны $(x, y)$.

По условию задачи, его координаты равны, то есть $x = y$. Обозначим это общее значение через $a$. Таким образом, вектор $\vec{c}$ имеет координаты $(a, a)$.

Модуль (или длина) вектора с координатами $(x, y)$ вычисляется по формуле:$|\vec{c}| = \sqrt{x^2 + y^2}$

Подставим координаты нашего вектора в эту формулу:$|\vec{c}| = \sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{2a^2}$

Из условия задачи известно, что модуль вектора равен 2, то есть $|\vec{c}| = 2$. Составим уравнение:$\sqrt{2a^2} = 2$

Чтобы решить это уравнение, возведем обе его части в квадрат:$(\sqrt{2a^2})^2 = 2^2$$2a^2 = 4$

Теперь найдем $a^2$:$a^2 = \frac{4}{2}$$a^2 = 2$

Из этого следует, что $a$ может принимать два значения:$a = \sqrt{2}$ или $a = -\sqrt{2}$.

Следовательно, существует два вектора, удовлетворяющих условиям задачи, с координатами $(\sqrt{2}; \sqrt{2})$ и $(-\sqrt{2}; -\sqrt{2})$.

Ответ: $(\sqrt{2}; \sqrt{2})$ или $(-\sqrt{2}; -\sqrt{2})$.

461. Точки A (2; 5) и B (7; 5) – вершины прямоугольника ABCD. Модуль вектора $\vec{BD}$ равен 13. Найдите координаты точек C и D.

Даны вершины прямоугольника $A(2; 5)$ и $B(7; 5)$, а также модуль (длина) диагонали $BD$, который равен 13. Необходимо найти координаты вершин $C$ и $D$.

1. Анализ стороны AB

Найдем координаты вектора $\vec{AB}$ и его длину.
$\vec{AB} = (x_B - x_A; y_B - y_A) = (7 - 2; 5 - 5) = (5; 0)$.
Длина стороны $AB$ равна модулю вектора $\vec{AB}$:
$|\vec{AB}| = \sqrt{5^2 + 0^2} = 5$.
Поскольку y-координаты точек $A$ и $B$ совпадают, сторона $AB$ параллельна оси абсцисс (горизонтальна).

2. Свойства прямоугольника и координаты вершин

В прямоугольнике $ABCD$ стороны, смежные с $AB$, то есть $AD$ и $BC$, должны быть перпендикулярны $AB$. Так как $AB$ горизонтальна, стороны $AD$ и $BC$ должны быть вертикальны (параллельны оси ординат).
Это означает, что точки $A$ и $D$ имеют одинаковую x-координату, а точки $B$ и $C$ также имеют одинаковую x-координату.
Следовательно, $x_D = x_A = 2$ и $x_C = x_B = 7$.
Таким образом, координаты точек $D$ и $C$ можно записать как $D(2; y_D)$ и $C(7; y_C)$.
Кроме того, в прямоугольнике противоположные стороны равны и параллельны, поэтому $\vec{AD} = \vec{BC}$, из чего следует, что $y_D - y_A = y_C - y_B$.

3. Использование длины диагонали BD

По условию, длина диагонали $BD$ равна 13. Запишем это с помощью формулы расстояния между двумя точками $B(7; 5)$ и $D(2; y_D)$:
$|BD| = \sqrt{(x_D - x_B)^2 + (y_D - y_B)^2} = 13$
Подставим известные значения:
$\sqrt{(2 - 7)^2 + (y_D - 5)^2} = 13$
Возведем обе части уравнения в квадрат:
$(2 - 7)^2 + (y_D - 5)^2 = 13^2$
$(-5)^2 + (y_D - 5)^2 = 169$
$25 + (y_D - 5)^2 = 169$
$(y_D - 5)^2 = 169

462. Точки $A (1; 2)$ и $D (1; -6)$ – вершины прямоугольника $ABCD$. Модуль вектора $\vec{AC}$ равен 17. Найдите координаты вершин $B$ и $C$.

Даны координаты вершин прямоугольника ABCD: $A(1; 2)$ и $D(1; -6)$. Модуль вектора $\vec{AC}$ равен 17, что соответствует длине диагонали AC, то есть $|AC| = 17$.

Сначала найдем длину стороны AD. Так как у точек A и D одинаковая абсцисса ($x=1$), сторона AD является вертикальным отрезком. Ее длина равна модулю разности ординат:

$|AD| = |y_A - y_D| = |2 - (-6)| = |8| = 8$.

В прямоугольнике треугольник $\triangle ADC$ является прямоугольным с прямым углом при вершине D. По теореме Пифагора, квадрат гипотенузы AC равен сумме квадратов катетов AD и DC:

$|AC|^2 = |AD|^2 + |DC|^2$

Подставим известные значения:

$17^2 = 8^2 + |DC|^2$

$289 = 64 + |DC|^2$

$|DC|^2 = 289 - 64 = 225$

$|DC| = \sqrt{225} = 15$.

Поскольку сторона AD вертикальна, то смежная с ней сторона DC должна быть горизонтальна. Это означает, что ординаты точек D и C совпадают: $y_C = y_D = -6$. Зная координаты точки $D(1; -6)$ и длину стороны $|DC|=15$, мы можем найти абсциссу точки C. Существует два возможных варианта:

1. Абсцисса C больше абсциссы D: $x_C = x_D + 15 = 1 + 15 = 16$.

2. Абсцисса C меньше абсциссы D: $x_C = x_D - 15 = 1 - 15 = -14$.

Для каждого из двух возможных положений точки C найдем соответствующие координаты точки B. В прямоугольнике ABCD вектор $\vec{AB}$ равен вектору $\vec{DC}$. Пусть $B(x_B; y_B)$ и $C(x_C; y_C)$.

$\vec{AB} = (x_B - x_A, y_B - y_A) = (x_B - 1, y_B - 2)$

$\vec{DC} = (x_C - x_D, y_C - y_D) = (x_C - 1, -6 - (-6)) = (x_C - 1, 0)$

Из равенства векторов $\vec{AB} = \vec{DC}$ следует система уравнений:

$x_B - 1 = x_C - 1 \implies x_B = x_C$

$y_B - 2 = 0 \implies y_B = 2$

Таким образом, координаты точки B всегда $(x_C; 2)$.

Рассмотрим оба возможных случая:

Случай 1: Если $x_C = 16$, то координаты вершин: $C(16; -6)$ и $B(16; 2)$.

Случай 2: Если $x_C = -14$, то координаты вершин: $C(-14; -6)$ и $B(-14; 2)$.

Задача имеет два возможных решения.

Ответ: $B(16; 2)$ и $C(16; -6)$ или $B(-14; 2)$ и $C(-14; -6)$.