Номер 453, страница 112 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

453. Даны точки $A (1; -4)$, $B (-2; 5)$, $C (1 + a; -4 + b)$, $D (-2 + a; 5 + b)$. Докажите, что $|\vec{AC}| = |\vec{BD}|$.

Для того чтобы доказать, что длины векторов $\vec{AC}$ и $\vec{BD}$ равны, необходимо найти координаты этих векторов, а затем вычислить их длины (модули).

Координаты вектора находятся путем вычитания соответствующих координат начальной точки из координат конечной точки.

1. Найдем координаты вектора $\vec{AC}$

Начало вектора в точке $A(1; -4)$, конец в точке $C(1+a; -4+b)$.

Координаты вектора $\vec{AC}$ равны: $((1+a) - 1; (-4+b) - (-4))$.

Выполним вычисления:

$x_{AC} = 1 + a - 1 = a$

$y_{AC} = -4 + b + 4 = b$

Таким образом, вектор $\vec{AC}$ имеет координаты $(a; b)$, то есть $\vec{AC} = (a; b)$.

2. Найдем координаты вектора $\vec{BD}$

Начало вектора в точке $B(-2; 5)$, конец в точке $D(-2+a; 5+b)$.

Координаты вектора $\vec{BD}$ равны: $((-2+a) - (-2); (5+b) - 5)$.

Выполним вычисления:

$x_{BD} = -2 + a + 2 = a$

$y_{BD} = 5 + b - 5 = b$

Таким образом, вектор $\vec{BD}$ имеет координаты $(a; b)$, то есть $\vec{BD} = (a; b)$.

3. Сравним длины векторов

Мы выяснили, что векторы $\vec{AC}$ и $\vec{BD}$ имеют одинаковые координаты, следовательно, эти векторы равны: $\vec{AC} = \vec{BD}$. Равные векторы имеют равные длины.

Длина (модуль) вектора $\vec{v}(x; y)$ вычисляется по формуле $|\vec{v}| = \sqrt{x^2 + y^2}$.

Вычислим длину вектора $\vec{AC}(a; b)$:

$|\vec{AC}| = \sqrt{a^2 + b^2}$

Вычислим длину вектора $\vec{BD}(a; b)$:

$|\vec{BD}| = \sqrt{a^2 + b^2}$

Следовательно, $|\vec{AC}| = |\vec{BD}|$, что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство $|\vec{AC}| = |\vec{BD}|$ доказано.