Номер 458, страница 112 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

458. Точка E – середина стороны AC прямоугольника OACD. Найдите координаты векторов $\vec{DE}$ и $\vec{EO}$ (рис. 106).

Для нахождения координат векторов $\vec{DE}$ и $\vec{EO}$ сначала определим координаты точек $O, A, C, D, E$ на основе данных из рисунка 106.

1. Определение координат вершин прямоугольника и точки E.

Из рисунка видно, что:

• Точка $O$ — начало координат, следовательно, ее координаты $O(0; 0)$.
• Точка $A$ лежит на оси $y$, следовательно, ее координаты $A(0; 6)$.
• Точка $D$ лежит на оси $x$, следовательно, ее координаты $D(8; 0)$.

Поскольку $OACD$ — прямоугольник, его стороны $OA$ и $CD$ параллельны и равны, а также $OD$ и $AC$ параллельны и равны. Стороны $OA$ и $OD$ лежат на осях координат, значит, стороны прямоугольника параллельны осям. Координаты точки $C$ будут равны абсциссе точки $D$ и ординате точки $A$. Таким образом, координаты точки $C(8; 6)$.

Точка $E$ является серединой стороны $AC$. Найдем ее координаты по формуле координат середины отрезка:

$x_E = \frac{x_A + x_C}{2} = \frac{0 + 8}{2} = 4$

$y_E = \frac{y_A + y_C}{2} = \frac{6 + 6}{2} = 6$

Следовательно, координаты точки $E(4; 6)$.

2. Нахождение координат векторов.

Координаты вектора находятся как разность соответствующих координат его конца и начала.

Координаты вектора $\vec{DE}$

Начало вектора — точка $D(8; 0)$, конец — точка $E(4; 6)$.

$\vec{DE} = (x_E - x_D; y_E - y_D) = (4 - 8; 6 - 0) = (-4; 6)$

Ответ: $\vec{DE}(-4; 6)$

Координаты вектора $\vec{EO}$

Начало вектора — точка $E(4; 6)$, конец — точка $O(0; 0)$.

$\vec{EO} = (x_O - x_E; y_O - y_E) = (0 - 4; 0 - 6) = (-4; -6)$

Ответ: $\vec{EO}(-4; -6)$