Номер 465, страница 113 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

465. Боковая сторона равнобокой трапеции, описанной около окружности, равна $a$, а один из углов – $60^\circ$. Найдите площадь трапеции.

Пусть дана равнобокая трапеция, у которой боковая сторона равна $a$, а один из углов равен $60°$. Так как трапеция равнобокая, то углы при основании равны. Угол в $60°$ должен быть острым углом при большем основании, так как в противном случае тупой угол был бы $60°$, а острый — $120°$, что невозможно.

Поскольку трапеция описана около окружности, суммы ее противоположных сторон равны. Обозначим основания трапеции как $b_1$ и $b_2$, а боковые стороны как $c_1$ и $c_2$. Тогда:$b_1 + b_2 = c_1 + c_2$Так как трапеция равнобокая, ее боковые стороны равны $a$.$b_1 + b_2 = a + a = 2a$

Площадь трапеции $S$ находится по формуле:$S = \frac{b_1 + b_2}{2} \cdot h$где $h$ — высота трапеции.Подставим в формулу найденную сумму оснований:$S = \frac{2a}{2} \cdot h = a \cdot h$

Для нахождения площади осталось найти высоту $h$. Проведем высоту из вершины тупого угла к большему основанию. Получим прямоугольный треугольник, в котором гипотенузой является боковая сторона трапеции $a$, один из углов равен $60°$, а противолежащий этому углу катет — высота $h$.Из определения синуса в прямоугольном треугольнике:$\sin(60°) = \frac{h}{a}$Отсюда выразим высоту:$h = a \cdot \sin(60°) = a \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$

Теперь подставим значение высоты в формулу для площади:$S = a \cdot h = a \cdot \left(a \frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{a^2\sqrt{3}}{2}$

Ответ: $\frac{a^2\sqrt{3}}{2}$