Номер 461, страница 112 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

461. Точки A (2; 5) и B (7; 5) – вершины прямоугольника ABCD. Модуль вектора $\vec{BD}$ равен 13. Найдите координаты точек C и D.

Даны вершины прямоугольника $A(2; 5)$ и $B(7; 5)$, а также модуль (длина) диагонали $BD$, который равен 13. Необходимо найти координаты вершин $C$ и $D$.

1. Анализ стороны AB

Найдем координаты вектора $\vec{AB}$ и его длину.
$\vec{AB} = (x_B - x_A; y_B - y_A) = (7 - 2; 5 - 5) = (5; 0)$.
Длина стороны $AB$ равна модулю вектора $\vec{AB}$:
$|\vec{AB}| = \sqrt{5^2 + 0^2} = 5$.
Поскольку y-координаты точек $A$ и $B$ совпадают, сторона $AB$ параллельна оси абсцисс (горизонтальна).

2. Свойства прямоугольника и координаты вершин

В прямоугольнике $ABCD$ стороны, смежные с $AB$, то есть $AD$ и $BC$, должны быть перпендикулярны $AB$. Так как $AB$ горизонтальна, стороны $AD$ и $BC$ должны быть вертикальны (параллельны оси ординат).
Это означает, что точки $A$ и $D$ имеют одинаковую x-координату, а точки $B$ и $C$ также имеют одинаковую x-координату.
Следовательно, $x_D = x_A = 2$ и $x_C = x_B = 7$.
Таким образом, координаты точек $D$ и $C$ можно записать как $D(2; y_D)$ и $C(7; y_C)$.
Кроме того, в прямоугольнике противоположные стороны равны и параллельны, поэтому $\vec{AD} = \vec{BC}$, из чего следует, что $y_D - y_A = y_C - y_B$.

3. Использование длины диагонали BD

По условию, длина диагонали $BD$ равна 13. Запишем это с помощью формулы расстояния между двумя точками $B(7; 5)$ и $D(2; y_D)$:
$|BD| = \sqrt{(x_D - x_B)^2 + (y_D - y_B)^2} = 13$
Подставим известные значения:
$\sqrt{(2 - 7)^2 + (y_D - 5)^2} = 13$
Возведем обе части уравнения в квадрат:
$(2 - 7)^2 + (y_D - 5)^2 = 13^2$
$(-5)^2 + (y_D - 5)^2 = 169$
$25 + (y_D - 5)^2 = 169$
$(y_D - 5)^2 = 169