Номер 457, страница 112 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

457. Точка $F$ делит сторону $BC$ прямоугольника $ABCD$ в отношении $1 : 2$, считая от вершины $B$ (рис. 105). Найдите координаты векторов $\vec{AF}$ и $\vec{FD}$.

Рис. 105

Для решения задачи сначала определим координаты вершин прямоугольника A, B, C, D и точки F, используя данные из условия и рисунка.

1. Определение координат точек.

Из рисунка видно, что вершины C и D лежат на оси Ox. Их x-координаты равны 3 и 5 соответственно. Таким образом, координаты этих точек: $C(3, 0)$ и $D(5, 0)$.

Поскольку ABCD — прямоугольник, его стороны BC и AD параллельны оси Oy, а сторона AB параллельна оси Ox.

Точка F лежит на стороне BC, поэтому ее x-координата совпадает с x-координатой точки C, то есть $x_F = 3$. Из рисунка видно, что y-координата точки F равна -4. Следовательно, координаты точки $F(3, -4)$.

По условию, точка F делит сторону BC в отношении $BF : FC = 1 : 2$. Длина отрезка FC, как разность y-координат, равна: $FC = |y_C - y_F| = |0 - (-4)| = 4$.

Из отношения $BF = \frac{1}{2} FC$ находим длину отрезка BF: $BF = \frac{1}{2} \cdot 4 = 2$.

Точка F находится на отрезке BC, и так как $y_C > y_F$, точка B находится ниже точки F. y-координата точки B равна: $y_B = y_F - BF = -4 - 2 = -6$. x-координата точки B такая же, как у C, то есть $x_B = 3$. Координаты точки B: $B(3, -6)$.

Теперь найдем координаты точки A. Так как AB параллельна Ox, $y_A = y_B = -6$. Так как AD параллельна Oy, $x_A = x_D = 5$. Координаты точки A: $A(5, -6)$.

Итак, мы определили координаты всех необходимых точек: $A(5, -6)$, $F(3, -4)$, и $D(5, 0)$.

2. Нахождение координат векторов.

Координаты вектора $\vec{AF}$

Координаты вектора вычисляются как разность соответствующих координат его конца и начала. Для вектора $\vec{AF}$ с началом в точке $A(5, -6)$ и концом в точке $F(3, -4)$ получаем:

$\vec{AF} = (x_F - x_A, y_F - y_A) = (3 - 5, -4 - (-6)) = (-2, 2)$.

Ответ: $\vec{AF} = (-2, 2)$.

Координаты вектора $\vec{FD}$

Для вектора $\vec{FD}$ с началом в точке $F(3, -4)$ и концом в точке $D(5, 0)$ получаем:

$\vec{FD} = (x_D - x_F, y_D - y_F) = (5 - 3, 0 - (-4)) = (2, 4)$.

Ответ: $\vec{FD} = (2, 4)$.