Номер 451, страница 111 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

451. Докажите, что четырёхугольник $\mathit{ABCD}$ с вершинами в точках $A (1; -5)$, $B (2; 3)$, $C (-3; 1)$, $D (-4; -7)$ является параллелограммом.

Чтобы доказать, что четырёхугольник ABCD является параллелограммом, воспользуемся одним из его признаков: четырёхугольник является параллелограммом, если его диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. Для этого достаточно проверить, совпадают ли координаты середин его диагоналей AC и BD.

Даны координаты вершин четырёхугольника: A(1; -5), B(2; 3), C(-3; 1), D(-4; -7).

Нахождение координат середины диагонали AC

Координаты середины отрезка вычисляются по формулам: $x_с = \frac{x_1 + x_2}{2}$ и $y_с = \frac{y_1 + y_2}{2}$.

Пусть M — середина диагонали AC. Найдём её координаты, подставив координаты точек A и C:

$x_M = \frac{1 + (-3)}{2} = \frac{-2}{2} = -1$

$y_M = \frac{-5 + 1}{2} = \frac{-4}{2} = -2$

Таким образом, середина диагонали AC находится в точке M с координатами (-1; -2).

Нахождение координат середины диагонали BD

Пусть N — середина диагонали BD. Найдём её координаты, подставив координаты точек B и D:

$x_N = \frac{2 + (-4)}{2} = \frac{-2}{2} = -1$

$y_N = \frac{3 + (-7)}{2} = \frac{-4}{2} = -2$

Таким образом, середина диагонали BD находится в точке N с координатами (-1; -2).

Вывод

Координаты середины диагонали AC (-1; -2) совпадают с координатами середины диагонали BD (-1; -2). Поскольку диагонали четырёхугольника ABCD пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам, данный четырёхугольник является параллелограммом по соответствующему признаку.

Ответ: Доказано, что четырёхугольник ABCD является параллелограммом, так как его диагонали имеют общую середину в точке (-1; -2).