Страница 111 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

442. С помощью циркуля и линейки постройте точку, координаты которой равны координатам данного вектора $\vec{a}$ (рис. 103).

Пусть дан вектор $\vec{a}$, представленный на плоскости направленным отрезком $AB$ (где точка $A$ — начало вектора, а точка $B$ — его конец), и прямоугольная система координат $Oxy$.

Задача заключается в построении точки $P$, координаты которой $(x_P; y_P)$ равны соответствующим координатам вектора $\vec{a} = (a_x; a_y)$.

По определению, координаты точки в декартовой системе совпадают с координатами ее радиус-вектора, то есть вектора, проведенного из начала координат $O$ в эту точку. Таким образом, нам необходимо построить такую точку $P$, что ее радиус-вектор $\overrightarrow{OP}$ равен данному вектору $\vec{a}$.

Итак, задача сводится к построению вектора $\overrightarrow{OP}$, равного вектору $\overrightarrow{AB}$, который отложен от начала координат.

Два вектора равны, если они имеют одинаковую длину и одинаковое направление. Если отложить от точки $O$ вектор, равный вектору $\overrightarrow{AB}$, то его концом будет такая точка $P$, что четырехугольник $OABP$ является параллелограммом. В этом параллелограмме стороны $OP$ и $AB$ равны и параллельны, что обеспечивает равенство векторов $\overrightarrow{OP}$ и $\overrightarrow{AB}$.

Следовательно, для нахождения точки $P$ необходимо построить четвертую вершину параллелограмма $OABP$, зная три его вершины: $O$ (начало координат), $A$ (начало вектора $\vec{a}$) и $B$ (конец вектора $\vec{a}$).

Алгоритм построения с помощью циркуля и линейки:
1. С помощью циркуля измеряем длину данного вектора $\vec{a}$, то есть расстояние между точками $A$ и $B$.
2. Устанавливаем острие циркуля в начало координат (точку $O$) и проводим дугу окружности радиусом, равным длине отрезка $AB$. Искомая точка $P$ должна лежать на этой дуге, так как $|OP| = |AB|$.
3. С помощью циркуля измеряем расстояние от начала координат $O$ до начала вектора, точки $A$.
4. Устанавливаем острие циркуля в точку $B$ (конец вектора) и проводим вторую дугу радиусом, равным длине отрезка $OA$. Искомая точка $P$ должна лежать и на этой дуге, так как в параллелограмме $OABP$ противоположные стороны $BP$ и $OA$ равны.
5. Точка пересечения построенных дуг является искомой точкой $P$.

В результате построения мы получаем точку $P$, для которой $\overrightarrow{OP} = \overrightarrow{AB} = \vec{a}$, и, следовательно, ее координаты равны координатам вектора $\vec{a}$.

Ответ: Искомая точка $P$ является четвертой вершиной параллелограмма $OABP$, где $O$ — начало координат, а $A$ и $B$ — соответственно начало и конец данного вектора $\vec{a}$. Построение выполняется с помощью циркуля и линейки путем нахождения точки пересечения двух дуг окружностей: одной с центром в точке $O$ и радиусом $|AB|$, и второй с центром в точке $B$ и радиусом $|OA|$.

443. Отложите от начала координат векторы $\vec{a}(-3; 2)$, $\vec{b}(0; -2)$, $\vec{c}(4; 0)$.

Чтобы отложить вектор с заданными координатами от начала координат, необходимо построить направленный отрезок, у которого начальная точка совпадает с началом координат O(0, 0), а конечная точка имеет координаты, соответствующие координатам вектора.

Вектор $\vec{a}(-3, 2)$
Начало этого вектора находится в точке O(0, 0). Конец вектора будет в точке A с координатами, равными координатам вектора, то есть A(-3, 2). Таким образом, вектор $\vec{a}$ — это направленный отрезок OA.
Ответ: Вектор $\vec{a}$ — это направленный отрезок OA, где O(0, 0) и A(-3, 2).

Вектор $\vec{b}(0, -2)$
Начало этого вектора находится в точке O(0, 0). Конец вектора будет в точке B с координатами (0, -2). Этот вектор лежит на оси Oy.
Ответ: Вектор $\vec{b}$ — это направленный отрезок OB, где O(0, 0) и B(0, -2).

Вектор $\vec{c}(4, 0)$
Начало этого вектора находится в точке O(0, 0). Конец вектора будет в точке C с координатами (4, 0). Этот вектор лежит на оси Ox.
Ответ: Вектор $\vec{c}$ — это направленный отрезок OC, где O(0, 0) и C(4, 0).

Графическое представление:

444. Отложите от точки $M (-1; 2)$ векторы $\vec{a} (1; -3)$, $\vec{b} (-2; 0)$, $\vec{c} (0; -1)$.

Чтобы отложить вектор от точки, необходимо найти координаты конца этого вектора. Если вектор $\vec{v}(v_x; v_y)$ откладывается от точки $M(x_M; y_M)$, то его конец будет в точке $A(x_A; y_A)$, координаты которой вычисляются по формулам:

$x_A = x_M + v_x$

$y_A = y_M + v_y$

В данной задаче начальная точка — это $M(-1; 2)$.

$\vec{a} (1; -3)$

Найдем координаты конечной точки $A(x_A; y_A)$ для вектора $\vec{a}$, отложенного от точки $M$.

$x_A = -1 + 1 = 0$

$y_A = 2 + (-3) = -1$

Следовательно, конечная точка вектора, отложенного от точки $M$, находится в точке $A(0; -1)$.

Ответ: $(0; -1)$.

$\vec{b} (-2; 0)$

Найдем координаты конечной точки $B(x_B; y_B)$ для вектора $\vec{b}$, отложенного от точки $M$.

$x_B = -1 + (-2) = -3$

$y_B = 2 + 0 = 2$

Следовательно, конечная точка вектора, отложенного от точки $M$, находится в точке $B(-3; 2)$.

Ответ: $(-3; 2)$.

$\vec{c} (0; -1)$

Найдем координаты конечной точки $C(x_C; y_C)$ для вектора $\vec{c}$, отложенного от точки $M$.

$x_C = -1 + 0 = -1$

$y_C = 2 + (-1) = 1$

Следовательно, конечная точка вектора, отложенного от точки $M$, находится в точке $C(-1; 1)$.

Ответ: $(-1; 1)$.

445. Найдите координаты векторов, изображённых на рисунке 104.

Рис. 103

Рис. 104

Вектор $\vec{a}$

$(0; 3)$

Вектор $\vec{b}$

$(3; 2)$

Вектор $\vec{c}$

$(-4; 0)$

Вектор $\vec{d}$

$(2; -2)$

Для нахождения координат вектора, изображенного на координатной плоскости, необходимо найти разность соответствующих координат его конца и начала. Если вектор задан начальной точкой $A(x_1; y_1)$ и конечной точкой $B(x_2; y_2)$, то его координаты вычисляются по формуле: $\{x_2 - x_1; y_2 - y_1\}$. Координаты также можно найти, посчитав смещение по осям $x$ и $y$ от начала к концу вектора.

Вектор $\vec{a}$

Начало вектора $\vec{a}$ находится в точке с координатами $(-3; 1)$.
Конец вектора $\vec{a}$ находится в точке с координатами $(-3; 4)$.
Координаты вектора $\vec{a}$ равны: $\{ -3 - (-3); 4 - 1 \} = \{ 0; 3 \}$.
Это соответствует смещению на 0 единиц по горизонтали и на 3 единицы вверх.

Ответ: $\vec{a}\{0; 3\}$

Вектор $\vec{b}$

Начало вектора $\vec{b}$ находится в точке с координатами $(2; 1)$.
Конец вектора $\vec{b}$ находится в точке с координатами $(5; 3)$.
Координаты вектора $\vec{b}$ равны: $\{ 5 - 2; 3 - 1 \} = \{ 3; 2 \}$.
Это соответствует смещению на 3 единицы вправо и на 2 единицы вверх.

Ответ: $\vec{b}\{3; 2\}$

Вектор $\vec{c}$

Начало вектора $\vec{c}$ находится в точке с координатами $(4; -1)$.
Конец вектора $\vec{c}$ находится в точке с координатами $(1; -1)$.
Координаты вектора $\vec{c}$ равны: $\{ 1 - 4; -1 - (-1) \} = \{ -3; 0 \}$.
Это соответствует смещению на 3 единицы влево и на 0 единиц по вертикали.

Ответ: $\vec{c}\{-3; 0\}$

Вектор $\vec{d}$

Начало вектора $\vec{d}$ находится в точке с координатами $(-2; -1)$.
Конец вектора $\vec{d}$ находится в точке с координатами $(1; -2)$.
Координаты вектора $\vec{d}$ равны: $\{ 1 - (-2); -2 - (-1) \} = \{ 3; -1 \}$.
Это соответствует смещению на 3 единицы вправо и на 1 единицу вниз.

Ответ: $\vec{d}\{3; -1\}$

446. Найдите координаты вектора $\overrightarrow{AB}$, если:

1) $A(2; 3)$, $B(-1; 4);$

2) $A(3; 0)$, $B(0; -3);$

3) $A(0; 0)$, $B(-2; -8);$

4) $A(m; n)$, $B(p; k).$

Чтобы найти координаты вектора $\overrightarrow{AB}$, зная координаты его начальной точки $A(x_A; y_A)$ и конечной точки $B(x_B; y_B)$, нужно из координат конечной точки вычесть соответствующие координаты начальной точки. Формула для вычисления координат вектора $\overrightarrow{AB}(x; y)$ выглядит следующим образом:

$x = x_B - x_A$

$y = y_B - y_A$

Таким образом, $\overrightarrow{AB} = (x_B - x_A; y_B - y_A)$.

Применим эту формулу к каждому из пунктов задачи.

1) Даны точки $A(2; 3)$ и $B(-1; 4)$.

Находим координаты вектора $\overrightarrow{AB}$:

$x = x_B - x_A = -1 - 2 = -3$

$y = y_B - y_A = 4 - 3 = 1$

Следовательно, координаты вектора $\overrightarrow{AB}$ равны $(-3; 1)$.

Ответ: $\overrightarrow{AB}(-3; 1)$.

2) Даны точки $A(3; 0)$ и $B(0; -3)$.

Находим координаты вектора $\overrightarrow{AB}$:

$x = x_B - x_A = 0 - 3 = -3$

$y = y_B - y_A = -3 - 0 = -3$

Следовательно, координаты вектора $\overrightarrow{AB}$ равны $(-3; -3)$.

Ответ: $\overrightarrow{AB}(-3; -3)$.

3) Даны точки $A(0; 0)$ и $B(-2; -8)$.

Находим координаты вектора $\overrightarrow{AB}$:

$x = x_B - x_A = -2 - 0 = -2$

$y = y_B - y_A = -8 - 0 = -8$

В данном случае вектор является радиус-вектором точки B, и его координаты совпадают с координатами точки B.

Следовательно, координаты вектора $\overrightarrow{AB}$ равны $(-2; -8)$.

Ответ: $\overrightarrow{AB}(-2; -8)$.

4) Даны точки $A(m; n)$ и $B(p; k)$.

Находим координаты вектора $\overrightarrow{AB}$ по общей формуле:

$x = x_B - x_A = p - m$

$y = y_B - y_A = k - n$

Следовательно, координаты вектора $\overrightarrow{AB}$ равны $(p - m; k - n)$.

Ответ: $\overrightarrow{AB}(p - m; k - n)$.

447. Даны точка A (1; 3) и вектор $\vec{a}$ (-2; 1). Найдите координаты точки B такой, что $\vec{BA} = \vec{a}$.

Пусть искомая точка $B$ имеет координаты $(x_B; y_B)$. Координаты вектора, заданного двумя точками, вычисляются как разность соответствующих координат конца и начала вектора. Для вектора $\vec{BA}$ с началом в точке $B(x_B; y_B)$ и концом в точке $A(1; 3)$ его координаты будут $(1 - x_B; 3 - y_B)$.

Согласно условию задачи, вектор $\vec{BA}$ равен вектору $\vec{a}$, который имеет координаты $(-2; 1)$. Равенство векторов означает равенство их соответствующих координат. Таким образом, мы можем составить систему из двух уравнений:
$ \begin{cases} 1 - x_B = -2 \\ 3 - y_B = 1 \end{cases} $

Решим эту систему, чтобы найти координаты точки $B$.
Из первого уравнения выразим $x_B$:
$1 - x_B = -2$
$x_B = 1 - (-2) = 1 + 2 = 3$
Из второго уравнения выразим $y_B$:
$3 - y_B = 1$
$y_B = 3 - 1 = 2$
Следовательно, точка $B$ имеет координаты $(3; 2)$.

Ответ: $B(3; 2)$.

448. Даны точки $A (3; -7)$, $B (4; -5)$, $C (5; 8)$. Найдите координаты точки $D$ такой, что $\overline{AB} = \overline{CD}$.

Для решения задачи воспользуемся определением координат вектора и условием равенства векторов.

Координаты вектора равны разности соответствующих координат его конца и начала.

Пусть даны точки $A(x_A; y_A)$, $B(x_B; y_B)$, $C(x_C; y_C)$ и $D(x_D; y_D)$.
Координаты вектора $\vec{AB}$ вычисляются по формуле: $\vec{AB} = (x_B - x_A; y_B - y_A)$.
Координаты вектора $\vec{CD}$ вычисляются по формуле: $\vec{CD} = (x_D - x_C; y_D - y_C)$.

Подставим известные координаты точек $A(3; -7)$, $B(4; -5)$ и $C(5; 8)$:
$\vec{AB} = (4 - 3; -5 - (-7)) = (1; -5 + 7) = (1; 2)$.
Обозначим искомые координаты точки $D$ как $(x; y)$. Тогда:
$\vec{CD} = (x - 5; y - 8)$.

Векторы равны, если равны их соответствующие координаты. Из условия $\vec{AB} = \vec{CD}$ следует:
$ \begin{cases} 1 = x - 5 \\ 2 = y - 8 \end{cases} $

Решим полученную систему уравнений:
$x = 1 + 5 \implies x = 6$
$y = 2 + 8 \implies y = 10$

Таким образом, координаты точки $D$ равны $(6; 10)$.

Ответ: $D(6; 10)$.

449. От точки $A (4; -3)$ отложен вектор $\vec{m} (-1; 8)$. Найдите координаты конца вектора.

Пусть начальная точка вектора A имеет координаты $(x_A; y_A)$, а конечная точка B имеет координаты $(x_B; y_B)$. По условию, $A(4; -3)$. Вектор, отложенный от точки A, это вектор $\vec{AB}$. Он равен заданному вектору $\vec{m}(-1; 8)$.

Координаты вектора $\vec{AB}$ определяются по формуле:$\vec{AB} = (x_B - x_A; y_B - y_A)$

Поскольку $\vec{AB} = \vec{m}$, то их соответствующие координаты равны:$x_B - x_A = -1$$y_B - y_A = 8$

Чтобы найти координаты конечной точки B, выразим $x_B$ и $y_B$ из этих уравнений:$x_B = x_A + (-1)$$y_B = y_A + 8$

Теперь подставим известные координаты точки A:$x_B = 4 + (-1) = 4 - 1 = 3$$y_B = -3 + 8 = 5$

Таким образом, координаты конца вектора равны $(3; 5)$.

Ответ: $(3; 5)$

450. Даны точки A (3; -4), B (-2; 7), C (-4; 16), D (1; 5). Докажите, что $\vec{CB} = \vec{DA}$.

Для доказательства равенства векторов $\vec{CB}$ и $\vec{DA}$ необходимо найти их координаты. Два вектора равны, если их соответствующие координаты равны. Координаты вектора, заданного начальной точкой $M(x_1; y_1)$ и конечной точкой $N(x_2; y_2)$, вычисляются по формуле $\vec{MN} = (x_2 - x_1; y_2 - y_1)$.

Вычислим координаты вектора $\vec{CB}$.
Начало вектора — точка $C(-4; 16)$.
Конец вектора — точка $B(-2; 7)$.
Координаты вектора $\vec{CB}$ равны: $(-2 - (-4); 7 - 16) = (-2 + 4; -9) = (2; -9)$.

Вычислим координаты вектора $\vec{DA}$.
Начало вектора — точка $D(1; 5)$.
Конец вектора — точка $A(3; -4)$.
Координаты вектора $\vec{DA}$ равны: $(3 - 1; -4 - 5) = (2; -9)$.

Сравним полученные координаты. Вектор $\vec{CB}$ имеет координаты $(2; -9)$, и вектор $\vec{DA}$ имеет координаты $(2; -9)$.
Так как их соответствующие координаты равны, то векторы $\vec{CB}$ и $\vec{DA}$ равны.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство векторов $\vec{CB} = \vec{DA}$ доказано, так как их координаты совпадают и равны $(2; -9)$.

451. Докажите, что четырёхугольник $\mathit{ABCD}$ с вершинами в точках $A (1; -5)$, $B (2; 3)$, $C (-3; 1)$, $D (-4; -7)$ является параллелограммом.

Чтобы доказать, что четырёхугольник ABCD является параллелограммом, воспользуемся одним из его признаков: четырёхугольник является параллелограммом, если его диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. Для этого достаточно проверить, совпадают ли координаты середин его диагоналей AC и BD.

Даны координаты вершин четырёхугольника: A(1; -5), B(2; 3), C(-3; 1), D(-4; -7).

Нахождение координат середины диагонали AC

Координаты середины отрезка вычисляются по формулам: $x_с = \frac{x_1 + x_2}{2}$ и $y_с = \frac{y_1 + y_2}{2}$.

Пусть M — середина диагонали AC. Найдём её координаты, подставив координаты точек A и C:

$x_M = \frac{1 + (-3)}{2} = \frac{-2}{2} = -1$

$y_M = \frac{-5 + 1}{2} = \frac{-4}{2} = -2$

Таким образом, середина диагонали AC находится в точке M с координатами (-1; -2).

Нахождение координат середины диагонали BD

Пусть N — середина диагонали BD. Найдём её координаты, подставив координаты точек B и D:

$x_N = \frac{2 + (-4)}{2} = \frac{-2}{2} = -1$

$y_N = \frac{3 + (-7)}{2} = \frac{-4}{2} = -2$

Таким образом, середина диагонали BD находится в точке N с координатами (-1; -2).

Вывод

Координаты середины диагонали AC (-1; -2) совпадают с координатами середины диагонали BD (-1; -2). Поскольку диагонали четырёхугольника ABCD пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам, данный четырёхугольник является параллелограммом по соответствующему признаку.

Ответ: Доказано, что четырёхугольник ABCD является параллелограммом, так как его диагонали имеют общую середину в точке (-1; -2).