Страница 118 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

1. Опишите правило треугольника для нахождения суммы векторов.

1.

Правило треугольника — это геометрический метод для нахождения суммы двух векторов. Пусть даны два вектора $\vec{a}$ и $\vec{b}$.

Для того чтобы найти их сумму $\vec{c} = \vec{a} + \vec{b}$, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Из произвольной точки $O$ отложить вектор, равный вектору $\vec{a}$. Обозначим его конец точкой $A$. Таким образом, $\vec{OA} = \vec{a}$.

2. Из точки $A$ (конца вектора $\vec{a}$) отложить вектор, равный вектору $\vec{b}$. Обозначим его конец точкой $B$. Таким образом, $\vec{AB} = \vec{b}$. Векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ теперь отложены последовательно, то есть начало второго вектора совпадает с концом первого.

3. Вектор, соединяющий начальную точку первого вектора ($O$) и конечную точку второго вектора ($B$), является суммой (результирующим вектором) векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$. То есть, $\vec{c} = \vec{OB}$.

Таким образом, справедливо равенство: $\vec{OA} + \vec{AB} = \vec{OB}$. Построенные векторы образуют треугольник $OAB$, что и объясняет название правила.

Ответ: Правило треугольника для нахождения суммы двух векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ гласит: если от конца вектора $\vec{a}$ отложить вектор $\vec{b}$, то вектор суммы $\vec{a} + \vec{b}$ будет направлен из начала вектора $\vec{a}$ в конец вектора $\vec{b}$.

2. Какое равенство выражает правило треугольника для нахождения суммы векторов?

Правило треугольника для нахождения суммы векторов утверждает, что для любых трех точек A, B и C справедливо следующее векторное равенство, также известное как правило Шаля:

$\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}$

Геометрическая интерпретация этого правила такова: если от некоторой точки A отложить вектор $\vec{AB}$, а затем от его конца (точки B) отложить вектор $\vec{BC}$, то вектор суммы $\vec{AC}$ будет направлен из начальной точки первого вектора (A) в конечную точку второго вектора (C). Эти три вектора образуют треугольник ABC.

Ответ: $\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}$

3. Чему равны координаты вектора, равного сумме двух данных векторов?

Чтобы найти координаты вектора, который является суммой двух данных векторов, необходимо попарно сложить их соответствующие координаты.

Предположим, у нас есть два вектора, заданные в некоторой системе координат. Для наглядности рассмотрим случай на плоскости (в двумерном пространстве).

Пусть дан вектор $\vec{a}$ с координатами $(x_1; y_1)$ и вектор $\vec{b}$ с координатами $(x_2; y_2)$.

$\vec{a} = (x_1; y_1)$
$\vec{b} = (x_2; y_2)$

Суммой этих двух векторов будет новый вектор, обозначим его $\vec{c}$.

$\vec{c} = \vec{a} + \vec{b}$

Координаты результирующего вектора $\vec{c}$ вычисляются следующим образом: первая координата вектора $\vec{c}$ равна сумме первых координат векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$, а вторая координата — сумме их вторых координат.

Таким образом, формула для координат вектора-суммы имеет вид:

$\vec{c} = (x_1 + x_2; y_1 + y_2)$

Это правило является общим и применяется для векторов в пространстве любой размерности. Например, для векторов в трехмерном пространстве $\vec{a} = (x_1; y_1; z_1)$ и $\vec{b} = (x_2; y_2; z_2)$ их сумма будет равна:

$\vec{a} + \vec{b} = (x_1 + x_2; y_1 + y_2; z_1 + z_2)$

Ответ: Каждая координата вектора, равного сумме двух данных векторов, равна сумме соответствующих координат этих векторов.

4. Запишите равенства, выражающие свойства сложения векторов.

Сложение векторов подчиняется нескольким основным свойствам, которые выражаются следующими равенствами для любых векторов $\vec{a}$, $\vec{b}$ и $\vec{c}$:

Переместительное (коммутативное) свойство

Сумма двух векторов не зависит от порядка слагаемых. Это означает, что если мы сначала отложим вектор $\vec{a}$, а затем из его конца отложим вектор $\vec{b}$, то получим тот же самый результирующий вектор, как если бы мы сначала отложили вектор $\vec{b}$, а затем из его конца — вектор $\vec{a}$.

Ответ: $\vec{a} + \vec{b} = \vec{b} + \vec{a}$

Сочетательное (ассоциативное) свойство

При сложении трех и более векторов их можно группировать в любом порядке. Сумма векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$, сложенная с вектором $\vec{c}$, равна вектору $\vec{a}$, сложенному с суммой векторов $\vec{b}$ и $\vec{c}$.

Ответ: $(\vec{a} + \vec{b}) + \vec{c} = \vec{a} + (\vec{b} + \vec{c})$

Свойство сложения с нулевым вектором

Существует такой вектор, называемый нулевым вектором ($\vec{0}$), который является нейтральным элементом для операции сложения. Сложение любого вектора с нулевым вектором не изменяет исходный вектор.

Ответ: $\vec{a} + \vec{0} = \vec{a}$

Свойство существования противоположного вектора

Для каждого вектора $\vec{a}$ существует противоположный ему вектор, обозначаемый как $-\vec{a}$. Противоположный вектор имеет ту же длину (модуль), что и исходный, но направлен в противоположную сторону. Сумма вектора и его противоположного вектора равна нулевому вектору.

Ответ: $\vec{a} + (-\vec{a}) = \vec{0}$

5. Опишите правило параллелограмма для нахождения суммы двух векторов.

Правило параллелограмма — это геометрический метод для нахождения суммы двух векторов. Чтобы найти сумму двух неколлинеарных векторов (векторов, не лежащих на одной прямой) $\vec{a}$ и $\vec{b}$ по этому правилу, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Совместить начала векторов: отложить оба вектора, $\vec{a}$ и $\vec{b}$, от одной общей точки.
2. Построить параллелограмм: на этих векторах, как на смежных сторонах, достроить параллелограмм. Для этого через конец вектора $\vec{a}$ нужно провести прямую, параллельную вектору $\vec{b}$, а через конец вектора $\vec{b}$ — прямую, параллельную вектору $\vec{a}$.
3. Найти результирующий вектор: суммой векторов $\vec{c} = \vec{a} + \vec{b}$ будет вектор, который совпадает с диагональю построенного параллелограмма, исходящей из общего начала векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$.

Таким образом, результирующий вектор $\vec{c}$ направлен из общего начала исходных векторов к противоположной вершине параллелограмма. Стоит отметить, что вторая диагональ этого параллелограмма представляет собой разность векторов $\vec{a} - \vec{b}$ (или $\vec{b} - \vec{a}$, в зависимости от направления).

Ответ: Чтобы найти сумму двух векторов по правилу параллелограмма, их откладывают из одной точки, достраивают на них как на сторонах параллелограмм, и диагональ этого параллелограмма, исходящая из той же точки, является суммой данных векторов.

Разностью двух векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ называется такой третий вектор, обозначим его $\vec{c}$, который в сумме с вектором $\vec{b}$ дает вектор $\vec{a}$.

Математически это определение записывается так:
$\vec{c} = \vec{a} - \vec{b}$ тогда и только тогда, когда $\vec{b} + \vec{c} = \vec{a}$.

Для нахождения разности векторов на практике используют два основных подхода:

Алгебраический подход.
Этот подход сводит операцию вычитания к сложению. Разность векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ равна сумме вектора $\vec{a}$ и вектора $-\vec{b}$, который является противоположным вектору $\vec{b}$. Противоположный вектор $-\vec{b}$ имеет такую же длину (модуль), что и $\vec{b}$, но направлен в противоположную сторону. Таким образом: $\vec{a} - \vec{b} = \vec{a} + (-\vec{b})$.
Если векторы заданы своими координатами, например, в двумерном пространстве $\vec{a} = (x_1; y_1)$ и $\vec{b} = (x_2; y_2)$, то координаты их разности находятся путем вычитания соответствующих координат: $\vec{a} - \vec{b} = (x_1 - x_2; y_1 - y_2)$.

Геометрический подход (правило треугольника).
Чтобы найти вектор разности $\vec{a} - \vec{b}$ геометрически, нужно отложить оба вектора от одной общей точки (начала). Пусть из точки $O$ выходят векторы $\vec{OA} = \vec{a}$ и $\vec{OB} = \vec{b}$. Тогда вектор, проведенный из конца вычитаемого вектора $\vec{b}$ (точка B) в конец уменьшаемого вектора $\vec{a}$ (точка A), и будет являться их разностью: $\vec{BA} = \vec{a} - \vec{b}$. Это легко проверить с помощью правила сложения векторов для треугольника $OAB$: $\vec{OB} + \vec{BA} = \vec{OA}$, что полностью соответствует исходному определению разности.

Ответ: Разностью векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ называют такой вектор, который в сумме с вектором $\vec{b}$ дает вектор $\vec{a}$.

7. Какое равенство выражает правило нахождения разности двух векторов, отложенных от одной точки?

Правило нахождения разности двух векторов, отложенных от одной точки, можно сформулировать и записать в виде равенства следующим образом.

Пусть даны два вектора, которые отложены от одной общей точки $O$. Обозначим эти векторы как $\vec{OA}$ и $\vec{OB}$, где $A$ и $B$ — их конечные точки.

Разностью векторов $\vec{OA}$ и $\vec{OB}$ является вектор, который начинается в конце вычитаемого вектора ($\vec{OB}$, то есть в точке $B$) и заканчивается в конце уменьшаемого вектора ($\vec{OA}$, то есть в точке $A$). Таким вектором является вектор $\vec{BA}$.

Следовательно, равенство, которое выражает это правило, имеет вид:

$\vec{OA} - \vec{OB} = \vec{BA}$

Это правило легко проверить с помощью правила треугольника для сложения векторов. Если мы к вектору $\vec{OB}$ прибавим вектор $\vec{BA}$, то получим вектор $\vec{OA}$: $\vec{OB} + \vec{BA} = \vec{OA}$. Из этого равенства алгебраически следует, что $\vec{BA} = \vec{OA} - \vec{OB}$.

Ответ: $\vec{OA} - \vec{OB} = \vec{BA}$

8. Чему равны координаты вектора, равного разности двух данных векторов?

Координаты вектора, равного разности двух данных векторов, находятся путем покомпонентного вычитания координат. Это означает, что для нахождения каждой координаты результирующего вектора нужно из соответствующей координаты первого вектора (уменьшаемого) вычесть соответствующую координату второго вектора (вычитаемого).

Рассмотрим это правило на примерах для двумерного и трехмерного пространства.

Для векторов на плоскости (в 2D):

Пусть даны два вектора: $\vec{a}$ с координатами $\{x_1; y_1\}$ и $\vec{b}$ с координатами $\{x_2; y_2\}$.

Тогда вектор $\vec{c}$, равный их разности ($\vec{c} = \vec{a} - \vec{b}$), будет иметь следующие координаты:

$\vec{c} = \{x_1 - x_2; y_1 - y_2\}$

Для векторов в пространстве (в 3D):

Пусть даны два вектора: $\vec{a}$ с координатами $\{x_1; y_1; z_1\}$ и $\vec{b}$ с координатами $\{x_2; y_2; z_2\}$.

Тогда вектор $\vec{c}$, равный их разности ($\vec{c} = \vec{a} - \vec{b}$), будет иметь следующие координаты:

$\vec{c} = \{x_1 - x_2; y_1 - y_2; z_1 - z_2\}$

Это правило обобщается на пространства любой размерности.

Ответ: Каждая координата вектора, равного разности двух векторов, равна разности соответствующих координат этих векторов. Если вектор $\vec{a} = \{x_1; y_1; ...; z_1\}$ и вектор $\vec{b} = \{x_2; y_2; ...; z_2\}$, то координаты их разности $\vec{c} = \vec{a} - \vec{b}$ вычисляются по формуле $\vec{c} = \{x_1 - x_2; y_1 - y_2; ...; z_1 - z_2\}$.