Страница 119 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

9. Какие векторы называют противоположными?

Два ненулевых вектора называются противоположными, если они имеют одинаковые длины (модули) и противоположно направлены. Это означает, что для двух противоположных векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ одновременно выполняются два условия:

1. Их длины (модули) равны: $|\vec{a}| = |\vec{b}|$.

2. Их направления противоположны (они антипараллельны): $\vec{a} \uparrow\downarrow \vec{b}$.

Вектор, противоположный вектору $\vec{a}$, принято обозначать как $-\vec{a}$. Таким образом, если вектор $\vec{b}$ противоположен вектору $\vec{a}$, это можно записать в виде равенства $\vec{b} = -\vec{a}$.

Ключевым свойством противоположных векторов является то, что их сумма всегда равна нулевому вектору ($\vec{0}$), то есть вектору, у которого начало и конец совпадают. Математически это выражается формулой: $\vec{a} + (-\vec{a}) = \vec{0}$.

Если вектор задан своими координатами, то координаты противоположного ему вектора имеют противоположные знаки. Например, если в двумерном пространстве вектор $\vec{v}$ имеет координаты $\{x; y\}$, то противоположный ему вектор $-\vec{v}$ будет иметь координаты $\{-x; -y\}$.

В геометрическом смысле, если вектор представлен направленным отрезком, например, от точки A до точки B (вектор $\vec{AB}$), то противоположным ему будет вектор, идущий от точки B до точки A (вектор $\vec{BA}$). Таким образом, справедливо равенство $\vec{AB} = -\vec{BA}$.

Ответ: Противоположными называются два ненулевых вектора, которые имеют равные модули (длины) и направлены в противоположные стороны.

10. Как обозначают вектор, противоположный вектору $\vec{a}$?

Вектором, противоположным данному ненулевому вектору $\vec{a}$, называется вектор, который имеет такую же длину (модуль), что и вектор $\vec{a}$, но направлен в противоположную сторону.

Основные свойства противоположных векторов:

• Они коллинеарны, то есть лежат на одной прямой или на параллельных прямых.
• Их длины (модули) равны: $|\vec{a}| = |-\vec{a}|$.
• Их направления противоположны.

Обозначается вектор, противоположный вектору $\vec{a}$, при помощи знака "минус" перед его названием: $-\vec{a}$.

Сумма любого вектора и противоположного ему вектора всегда равна нулевому вектору (вектору, у которого начало и конец совпадают): $\vec{a} + (-\vec{a}) = \vec{0}$.

Ответ: Вектор, противоположный вектору $\vec{a}$, обозначают как $-\vec{a}$.

11. Как можно свести вычитание векторов к сложению векторов?

Вычитание векторов сводится к сложению через использование понятия противоположного вектора.

По определению, разностью векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ называется такой вектор $\vec{c}$, который в сумме с вектором $\vec{b}$ дает вектор $\vec{a}$: $\vec{c} + \vec{b} = \vec{a}$.

Чтобы выполнить вычитание через сложение, для вычитаемого вектора $\vec{b}$ находят противоположный ему вектор $-\vec{b}$. Противоположный вектор имеет ту же длину (модуль), что и исходный вектор, но направлен в противоположную сторону.

Таким образом, операция вычитания вектора $\vec{b}$ из вектора $\vec{a}$ заменяется на операцию сложения вектора $\vec{a}$ с вектором, противоположным вектору $\vec{b}$. Это правило выражается следующей формулой:
$\vec{a} - \vec{b} = \vec{a} + (-\vec{b})$

Это преобразование позволяет применять для нахождения разности векторов все известные графические и координатные методы сложения векторов, используя в качестве второго слагаемого вектор $-\vec{b}$.

Ответ: Чтобы вычесть из вектора $\vec{a}$ вектор $\vec{b}$, нужно к вектору $\vec{a}$ прибавить вектор, противоположный вектору $\vec{b}$ (то есть вектор $-\vec{b}$). Формула этого правила: $\vec{a} - \vec{b} = \vec{a} + (-\vec{b})$.

466. С помощью правила треугольника постройте сумму векторов $ \vec{a} $ и $ \vec{b} $, изображённых на рисунке 118.

Рис. 118

а

б

в

г

д

е

ж

Для сложения двух векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ по правилу треугольника, необходимо от конца вектора $\vec{a}$ отложить вектор, равный вектору $\vec{b}$ (то есть совместить начало вектора $\vec{b}$ с концом вектора $\vec{a}$). Вектор, проведенный из начала вектора $\vec{a}$ в конец отложенного вектора $\vec{b}$, является суммой векторов $\vec{a} + \vec{b}$.

а

Переместим вектор $\vec{b}$ параллельно самому себе так, чтобы его начало совпало с концом вектора $\vec{a}$. Вектор $\vec{a}$ можно представить в виде координат $(3, 1)$ (3 клетки вправо, 1 клетка вверх). Вектор $\vec{b}$ имеет координаты $(2, -2)$ (2 клетки вправо, 2 клетки вниз). Суммой будет вектор $\vec{c}$, соединяющий начало вектора $\vec{a}$ и конец перенесенного вектора $\vec{b}$. Его координаты будут равны сумме координат: $\vec{c} = (3+2, 1-2) = (5, -1)$.

Ответ: Вектор суммы $\vec{a} + \vec{b}$ — это вектор, идущий из начала вектора $\vec{a}$ на 5 клеток вправо и 1 клетку вниз.

б

Переместим начало вектора $\vec{b}$ в конец вектора $\vec{a}$. Вектор $\vec{a}$ имеет координаты $(-2, -2)$ (2 клетки влево, 2 клетки вниз). Вектор $\vec{b}$ имеет координаты $(2, -2)$ (2 клетки вправо, 2 клетки вниз). Вектор суммы $\vec{c}$ будет иметь координаты $\vec{c} = (-2+2, -2-2) = (0, -4)$.

Ответ: Вектор суммы $\vec{a} + \vec{b}$ — это вектор, направленный вертикально вниз на 4 клетки из начальной точки вектора $\vec{a}$.

в

На данном рисунке векторы уже расположены согласно правилу треугольника: начало вектора $\vec{b}$ совпадает с концом вектора $\vec{a}$. Вектор $\vec{a}$ имеет координаты $(2, 2)$ (2 клетки вправо, 2 клетки вверх), а вектор $\vec{b}$ — $(2, -1)$ (2 клетки вправо, 1 клетка вниз). Суммирующий вектор $\vec{c}$ соединяет начало вектора $\vec{a}$ и конец вектора $\vec{b}$. Его координаты: $\vec{c} = (2+2, 2-1) = (4, 1)$.

Ответ: Вектор суммы $\vec{a} + \vec{b}$ — это вектор, идущий из начала вектора $\vec{a}$ на 4 клетки вправо и 1 клетку вверх.

г

Векторы расположены последовательно, образуя сумму $\vec{b} + \vec{a}$, которая равна сумме $\vec{a} + \vec{b}$ в силу коммутативности сложения векторов. Вектор $\vec{b}$ имеет координаты $(-1, 2)$ (1 клетка влево, 2 клетки вверх), а вектор $\vec{a}$ — $(4, 0)$ (4 клетки вправо). Вектор суммы $\vec{c}$ соединяет начало вектора $\vec{b}$ и конец вектора $\vec{a}$. Его координаты: $\vec{c} = (-1+4, 2+0) = (3, 2)$.

Ответ: Вектор суммы $\vec{a} + \vec{b}$ — это вектор, идущий из начала вектора $\vec{b}$ на 3 клетки вправо и 2 клетки вверх.

д

Векторы имеют общее начало. Чтобы применить правило треугольника, переместим вектор $\vec{b}$ так, чтобы его начало совпало с концом вектора $\vec{a}$. Вектор $\vec{a}$ имеет координаты $(3, 1)$ (3 клетки вправо, 1 клетка вверх), а вектор $\vec{b}$ — $(1, -1)$ (1 клетка вправо, 1 клетка вниз). Вектор суммы $\vec{c}$ будет иметь координаты $\vec{c} = (3+1, 1-1) = (4, 0)$.

Ответ: Вектор суммы $\vec{a} + \vec{b}$ — это вектор, направленный на 4 клетки вправо от общего начального пункта.

е

Переместим вектор $\vec{b}$ так, чтобы его начало совпало с концом вектора $\vec{a}$. Вектор $\vec{a}$ имеет координаты $(4, -1)$ (4 клетки вправо, 1 клетка вниз). Вектор $\vec{b}$ имеет координаты $(-2, -1)$ (2 клетки влево, 1 клетка вниз). Вектор суммы $\vec{c}$ будет иметь координаты $\vec{c} = (4-2, -1-1) = (2, -2)$.

Ответ: Вектор суммы $\vec{a} + \vec{b}$ — это вектор, идущий из начала вектора $\vec{a}$ на 2 клетки вправо и 2 клетки вниз.

ж

Векторы расположены на одной прямой последовательно: конец вектора $\vec{b}$ совпадает с началом вектора $\vec{a}$. Это соответствует сумме $\vec{b} + \vec{a}$. Вектор $\vec{b}$ имеет координаты $(-2, 0)$ (2 клетки влево), а вектор $\vec{a}$ — $(4, 0)$ (4 клетки вправо). Суммирующий вектор $\vec{c}$ соединяет начало вектора $\vec{b}$ и конец вектора $\vec{a}$. Его координаты: $\vec{c} = (-2+4, 0+0) = (2, 0)$.

Ответ: Вектор суммы $\vec{a} + \vec{b}$ — это вектор, направленный на 2 клетки вправо из начальной точки вектора $\vec{b}$.

467. С помощью правила параллелограмма постройте сумму векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$, изображённых на рисунке 118, а–г.

Для построения суммы двух векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ по правилу параллелограмма необходимо выполнить следующие шаги:

1. Отложить от произвольной точки O плоскости векторы $\vec{OA} = \vec{a}$ и $\vec{OB} = \vec{b}$, так чтобы они имели общее начало.
2. На векторах $\vec{OA}$ и $\vec{OB}$ как на смежных сторонах построить параллелограмм OACB. Для этого через точку A проводится прямая, параллельная вектору $\vec{OB}$, а через точку B — прямая, параллельная вектору $\vec{OA}$. Точка пересечения этих прямых и будет вершиной C.
3. Вектор $\vec{OC}$, исходящий из общего начала векторов и являющийся диагональю этого параллелограмма, будет являться их суммой: $\vec{c} = \vec{a} + \vec{b} = \vec{OC}$.

Так как в условии задачи не приведены сами рисунки 118, а-г, мы рассмотрим четыре типичных случая расположения векторов.

а) Векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ не коллинеарны и отложены из одной точки.

В этом случае векторы уже имеют общее начало. Достаточно достроить на них параллелограмм OACB. Вектор $\vec{c} = \vec{OC}$, являющийся диагональю параллелограмма, и будет искомой суммой $\vec{a} + \vec{b}$.

Ответ: Построение искомого вектора $\vec{c} = \vec{a} + \vec{b}$ показано на рисунке.

б) Векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ не коллинеарны и их начала не совпадают.

Сначала необходимо выполнить параллельный перенос векторов так, чтобы их начала совпали в некоторой произвольной точке O. Получим векторы $\vec{OA} = \vec{a}$ и $\vec{OB} = \vec{b}$. Далее действуем как в пункте а): строим параллелограмм OACB и находим его диагональ $\vec{OC}$. Этот вектор и будет суммой исходных векторов.

Ответ: Построение искомого вектора $\vec{c} = \vec{a} + \vec{b}$ показано на рисунке.

в) Векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ коллинеарны и сонаправлены.

Этот случай является вырожденным для правила параллелограмма. Отложим векторы $\vec{OA} = \vec{a}$ и $\vec{OB} = \vec{b}$ от общего начала O. Так как они сонаправлены, они будут лежать на одной прямой (или на параллельных прямых, но для правила мы их совмещаем в одной точке). "Параллелограмм" OACB вырождается в отрезок. Суммирующий вектор $\vec{c} = \vec{OC}$ будет сонаправлен с исходными векторами, а его длина будет равна сумме длин исходных векторов: $|\vec{c}| = |\vec{a}| + |\vec{b}|$.

Ответ: Построение искомого вектора $\vec{c} = \vec{a} + \vec{b}$ показано на рисунке.

г) Векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ коллинеарны и противоположно направлены.

Это также вырожденный случай. Отложим векторы $\vec{OA} = \vec{a}$ и $\vec{OB} = \vec{b}$ от общего начала O. Они будут лежать на одной прямой, но направлены в разные стороны. Чтобы построить параллелограмм OACB, мы откладываем от точки A вектор, равный $\vec{OB}$. Его конец C окажется на отрезке OA (если $|\vec{a}| > |\vec{b}|$) или на продолжении отрезка OA за точку O (если $|\vec{a}| < |\vec{b}|$). Суммирующий вектор $\vec{c} = \vec{OC}$ будет направлен в сторону большего по модулю вектора, а его длина будет равна разности длин (модулей) исходных векторов: $|\vec{c}| = ||\vec{a}| - |\vec{b}||$.

Ответ: Построение искомого вектора $\vec{c} = \vec{a} + \vec{b}$ показано на рисунке.

468. Для векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$, изображённых на рисунке 116, постройте вектор $\vec{a} - \vec{b}$.

Чтобы построить вектор разности $\vec{a} - \vec{b}$, можно воспользоваться одним из следующих способов, применив его к векторам, изображенным на рисунке 116.

Способ 1: Сложение с противоположным вектором

Разность векторов $\vec{a} - \vec{b}$ можно представить как сумму вектора $\vec{a}$ и вектора $(-\vec{b})$, который противоположен вектору $\vec{b}$. Построение выполняется в несколько шагов:

1. Постройте вектор $-\vec{b}$. Этот вектор имеет такую же длину (модуль), что и вектор $\vec{b}$, но направлен в противоположную сторону.

2. Сложите векторы $\vec{a}$ и $(-\vec{b})$ по правилу треугольника. Для этого выберите произвольную точку $O$ и отложите от нее вектор $\vec{OA}$, равный вектору $\vec{a}$. Затем от конца этого вектора, точки $A$, отложите вектор $\vec{AB'}$, равный вектору $-\vec{b}$.

3. Вектор, соединяющий начальную точку $O$ с конечной точкой $B'$, то есть вектор $\vec{OB'}$, является искомой разностью $\vec{a} - \vec{b}$.

Способ 2: Правило вычитания векторов (из общего начала)

Этот способ часто является более наглядным и быстрым.

1. Отложите оба вектора, $\vec{a}$ и $\vec{b}$, от одной общей точки $O$. Пусть $\vec{OA} = \vec{a}$ и $\vec{OB} = \vec{b}$.

2. Вектор разности $\vec{a} - \vec{b}$ — это вектор, который соединяет конец вычитаемого вектора ($\vec{b}$) с концом уменьшаемого вектора ($\vec{a}$).

3. Таким образом, искомый вектор — это вектор $\vec{BA}$. Его начало находится в точке $B$, а конец — в точке $A$. Это следует из правила сложения векторов: $\vec{OB} + \vec{BA} = \vec{OA}$, что равносильно $\vec{BA} = \vec{OA} - \vec{OB} = \vec{a} - \vec{b}$.

Ответ: Чтобы построить вектор $\vec{a} - \vec{b}$, нужно отложить векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ из одной общей точки $O$ так, чтобы получилось $\vec{OA} = \vec{a}$ и $\vec{OB} = \vec{b}$. Искомым вектором разности будет вектор $\vec{BA}$, проведенный из конца вектора $\vec{b}$ (точка B) в конец вектора $\vec{a}$ (точка A).

469. Начертите треугольник $ABC$. Отложите от точки $A$ вектор, противоположный вектору:

1) $\vec{AB}$;

2) $\vec{CA}$;

3) $\vec{BC}$.

Для решения задачи сначала начертим произвольный треугольник $ABC$. Вектор, противоположный данному вектору $\vec{a}$, — это вектор $-\vec{a}$, который имеет такую же длину (модуль), что и вектор $\vec{a}$, но направлен в противоположную сторону.

1) $\vec{AB}$

Вектор, противоположный вектору $\vec{AB}$, есть вектор $-\vec{AB}$. По определению, $-\vec{AB} = \vec{BA}$. Наша задача — отложить от точки $A$ вектор, равный вектору $\vec{BA}$. Пусть искомый вектор будет $\vec{AD}$. Тогда должно выполняться равенство $\vec{AD} = \vec{BA}$. Это означает, что точка $D$ должна быть расположена на прямой, проходящей через точки $B$ и $A$. Направление от $A$ к $D$ должно совпадать с направлением от $B$ к $A$, а длина отрезка $AD$ должна быть равна длине отрезка $BA$. Для построения точки $D$ нужно продлить отрезок $BA$ за точку $A$ и на этом продолжении отложить отрезок $AD$, равный по длине отрезку $AB$. Таким образом, точка $A$ будет являться серединой отрезка $BD$.

Ответ: Искомый вектор — это $\vec{AD}$, где точка $D$ такова, что $A$ является серединой отрезка $BD$.

2) $\vec{CA}$

Вектор, противоположный вектору $\vec{CA}$, есть вектор $-\vec{CA}$. По определению, $-\vec{CA} = \vec{AC}$. Нам нужно отложить от точки $A$ вектор, равный вектору $\vec{AC}$. Вектор $\vec{AC}$ по определению начинается в точке $A$ и заканчивается в точке $C$. Так как по условию требуется отложить вектор именно от точки $A$, то искомый вектор полностью совпадает с вектором $\vec{AC}$, который является стороной треугольника $ABC$.

Ответ: Искомый вектор — это $\vec{AC}$.

3) $\vec{BC}$

Вектор, противоположный вектору $\vec{BC}$, есть вектор $-\vec{BC}$. По определению, $-\vec{BC} = \vec{CB}$. Нам нужно отложить от точки $A$ вектор, равный вектору $\vec{CB}$. Пусть искомый вектор будет $\vec{AF}$. Тогда должно выполняться равенство $\vec{AF} = \vec{CB}$. Равенство векторов $\vec{AF} = \vec{CB}$ означает, что они сонаправлены (и, следовательно, их несущие прямые параллельны) и равны по длине. Геометрически это условие означает, что четырехугольник $ACBF$ является параллелограммом (по признаку параллелограмма: если в четырехугольнике две противоположные стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник — параллелограмм). Для построения точки $F$ нужно через точку $A$ провести прямую, параллельную стороне $BC$, и через точку $B$ провести прямую, параллельную стороне $AC$. Точка пересечения этих двух прямых и будет искомой точкой $F$.

Ответ: Искомый вектор — это $\vec{AF}$, где $F$ — такая точка, что четырехугольник $ACBF$ является параллелограммом.

470. Начертите параллелограмм $ABCD$. Постройте векторы $\vec{BC} + \vec{BA}$, $\vec{BC} + \vec{DC}$, $\vec{BC} + \vec{CA}$, $\vec{BC} + \vec{AD}$, $\vec{AC} + \vec{DB}$.

Для решения задачи начертим параллелограмм ABCD. Будем использовать правило треугольника (правило Шаля) для сложения векторов ($\overrightarrow{XY} + \overrightarrow{YZ} = \overrightarrow{XZ}$), правило параллелограмма, а также свойства параллелограмма, из которых следует, что $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$ и $\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC}$.

$\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{BA}$

Для нахождения суммы векторов, выходящих из одной точки B, воспользуемся правилом параллелограмма. Сумма $\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{BA}$ равна вектору диагонали параллелограмма, построенного на векторах $\overrightarrow{BC}$ и $\overrightarrow{BA}$. В параллелограмме ABCD эта диагональ совпадает с диагональю $\overrightarrow{BD}$.
Также можно использовать правило треугольника. Так как ABCD — параллелограмм, то $\overrightarrow{BA} = \overrightarrow{CD}$. Заменим вектор $\overrightarrow{BA}$ в сумме:
$\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{BA} = \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD}$.
По правилу треугольника, эта сумма равна $\overrightarrow{BD}$.
Ответ: $\overrightarrow{BD}$.

$\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{DC}$

Векторы в данной сумме приложены к разным точкам. Для их сложения воспользуемся свойством параллелограмма, согласно которому $\overrightarrow{DC} = \overrightarrow{AB}$.
Подставим это в исходное выражение:
$\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{DC} = \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{AB}$.
От перестановки слагаемых сумма не меняется, поэтому: $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}$.
По правилу треугольника, эта сумма равна вектору $\overrightarrow{AC}$.
Ответ: $\overrightarrow{AC}$.

$\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CA}$

В данной сумме конец первого вектора ($\overrightarrow{BC}$) совпадает с началом второго вектора ($\overrightarrow{CA}$). Это классический случай применения правила треугольника (правила Шаля).
$\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CA} = \overrightarrow{BA}$.
Суммой является вектор, соединяющий начало первого вектора (точка B) и конец второго (точка A).
Ответ: $\overrightarrow{BA}$.

$\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{AD}$

Так как ABCD — параллелограмм, его противоположные стороны параллельны и равны по длине. Следовательно, векторы, лежащие на этих сторонах и имеющие одинаковое направление, равны: $\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC}$.
Заменим вектор $\overrightarrow{AD}$ в сумме:
$\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{BC} = 2\overrightarrow{BC}$.
Искомый вектор сонаправлен с вектором $\overrightarrow{BC}$ и имеет вдвое большую длину. Для его построения нужно продлить отрезок BC за точку C на его длину.
Ответ: $2\overrightarrow{BC}$.

$\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{DB}$

Это сумма векторов, являющихся диагоналями параллелограмма. Выразим их через векторы сторон, выходящих из вершины A: $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{AD}$.
По правилу параллелограмма сложения векторов (или правилу треугольника $\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}$, а $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}$):
$\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}$.
Вектор $\overrightarrow{DB}$ можно выразить как разность векторов: $\overrightarrow{DB} = \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AD}$ (это следует из правила треугольника $\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DB} = \overrightarrow{AB}$).
Теперь сложим полученные выражения:
$\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{DB} = (\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}) + (\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AD}) = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AD} = 2\overrightarrow{AB}$.
Искомый вектор сонаправлен с вектором $\overrightarrow{AB}$ и имеет вдвое большую длину.
Ответ: $2\overrightarrow{AB}$.

$BC + \vec{BC}, \vec{CA} + \vec{AD}, \vec{BC} + \vec{AB}, \vec{AC} + \vec{BB}.$

471. Начертите треугольник MNP. Постройте векторы $\vec{MP} + \vec{PN}, \vec{MN} + \vec{PN}, \vec{MN} + \vec{MP}$.

Начертим произвольный треугольник $MNP$. Для построения требуемых векторов будем использовать правило треугольника и правило параллелограмма для сложения векторов.

$\vec{MP} + \vec{PN}$

Для нахождения суммы векторов $\vec{MP}$ и $\vec{PN}$ применим правило треугольника (также известное как правило сложения "конец к началу"). Начало второго вектора $\vec{PN}$ (точка $P$) совпадает с концом первого вектора $\vec{MP}$ (точка $P$). По этому правилу, результирующий вектор (сумма) начинается в начальной точке первого вектора (точка $M$) и заканчивается в конечной точке второго вектора (точка $N$). Следовательно, $\vec{MP} + \vec{PN} = \vec{MN}$. Искомый вектор — это вектор $\vec{MN}$, который совпадает со стороной исходного треугольника.

Ответ: $\vec{MN}$.

$\vec{MN} + \vec{PN}$

Для сложения векторов $\vec{MN}$ и $\vec{PN}$ неудобно напрямую применять стандартные правила, так как у них разные начала и они не следуют друг за другом. Преобразуем сумму, используя противоположные векторы. Заметим, что $\vec{MN} = -\vec{NM}$ и $\vec{PN} = -\vec{NP}$. Тогда сумма равна: $\vec{MN} + \vec{PN} = -\vec{NM} - \vec{NP} = -(\vec{NM} + \vec{NP})$. Теперь мы можем построить сумму векторов $\vec{NM}$ и $\vec{NP}$, так как они исходят из одной точки $N$. Для этого используем правило параллелограмма:
1. Построим точку $Q$ так, чтобы четырехугольник $NMPQ$ был параллелограммом. Для этого через точку $M$ проведем прямую, параллельную $NP$, а через точку $P$ — прямую, параллельную $NM$. Точка их пересечения и будет искомой точкой $Q$.
2. По правилу параллелограмма, сумма $\vec{NM} + \vec{NP}$ равна вектору-диагонали $\vec{NQ}$.
3. Искомая сумма $\vec{MN} + \vec{PN}$ равна вектору, противоположному $\vec{NQ}$, то есть вектору $\vec{QN}$.

Ответ: Вектор $\vec{QN}$, где $Q$ — четвертая вершина параллелограмма $NMPQ$.

$\vec{MN} + \vec{MP}$

Векторы $\vec{MN}$ и $\vec{MP}$ имеют общее начало в точке $M$. Для нахождения их суммы удобно воспользоваться правилом параллелограмма.
1. Построим на векторах $\vec{MN}$ и $\vec{MP}$ как на смежных сторонах параллелограмм. Обозначим его $MNQP$.
2. Для этого через точку $N$ проведем прямую, параллельную отрезку $MP$, а через точку $P$ — прямую, параллельную отрезку $MN$.
3. Точку пересечения этих прямых обозначим $Q$.
4. Согласно правилу параллелограмма, суммой векторов $\vec{MN}$ и $\vec{MP}$ является вектор, совпадающий с диагональю $MQ$ этого параллелограмма, который исходит из их общего начала $M$.
Таким образом, $\vec{MN} + \vec{MP} = \vec{MQ}$.

Ответ: Вектор $\vec{MQ}$, где $Q$ — четвертая вершина параллелограмма $MNQP$, построенного на векторах $\vec{MN}$ и $\vec{MP}$.

472. Начертите параллелограмм ABCD. Постройте векторы $ \overline{BA} - \overline{BC}$, $ \overline{BA} - \overline{DA}$, $ \overline{BA} - \overline{AD}$, $ \overline{AC} - \overline{DB}$.

Сначала начертим произвольный параллелограмм $ABCD$. Для построения искомых векторов будем использовать свойства векторов в параллелограмме и правила сложения/вычитания векторов.

Построение вектора $\vec{BA} - \vec{BC}$
Разность векторов, выходящих из одной точки (в данном случае из точки $B$), равна вектору, соединяющему конец вычитаемого вектора (точка $C$) с концом уменьшаемого вектора (точка $A$).
Следовательно, $\vec{BA} - \vec{BC} = \vec{CA}$.
Этот вектор является диагональю параллелограмма, направленной из точки $C$ в точку $A$.
Ответ: $\vec{CA}$.

Построение вектора $\vec{BA} - \vec{DA}$
В параллелограмме $ABCD$ противоположные стороны параллельны и равны, поэтому $\vec{DA} = \vec{CB}$.
Заменим в выражении вектор $\vec{DA}$ на равный ему вектор $\vec{CB}$:
$\vec{BA} - \vec{DA} = \vec{BA} - \vec{CB}$.
Вычитание вектора равносильно прибавлению противоположного ему вектора: $\vec{BA} - \vec{CB} = \vec{BA} + (-\vec{CB}) = \vec{BA} + \vec{BC}$.
Сумма векторов $\vec{BA}$ и $\vec{BC}$, отложенных из одной точки $B$, по правилу параллелограмма равна вектору диагонали, исходящей из этой же точки. В параллелограмме $ABCD$ это диагональ $BD$.
Таким образом, $\vec{BA} + \vec{BC} = \vec{BD}$.
Ответ: $\vec{BD}$.

Построение вектора $\vec{BA} - \vec{AD}$
В параллелограмме $ABCD$ противоположные стороны равны и параллельны, поэтому $\vec{AD} = \vec{BC}$.
Подставим в исходное выражение: $\vec{BA} - \vec{AD} = \vec{BA} - \vec{BC}$.
Как было показано в первом пункте, эта разность равна вектору $\vec{CA}$.
$\vec{BA} - \vec{BC} = \vec{CA}$.
Ответ: $\vec{CA}$.

Построение вектора $\vec{AC} - \vec{DB}$
Выразим векторы диагоналей $\vec{AC}$ и $\vec{DB}$ через векторы смежных сторон, например, $\vec{AB}$ и $\vec{AD}$.
По правилу сложения векторов (правило треугольника):
$\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{BC}$. Так как $\vec{BC} = \vec{AD}$, то $\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{AD}$.
$\vec{DB} = \vec{DA} + \vec{AB} = -\vec{AD} + \vec{AB}$.
Теперь найдем их разность:
$\vec{AC} - \vec{DB} = (\vec{AB} + \vec{AD}) - (-\vec{AD} + \vec{AB}) = \vec{AB} + \vec{AD} + \vec{AD} - \vec{AB} = 2\vec{AD}$.
Искомый вектор — это вектор $2\vec{AD}$. Для его построения нужно отложить от любой точки (например, от $A$) вектор, который сонаправлен вектору $\vec{AD}$ и имеет длину, в два раза большую длины стороны $AD$.
Ответ: $2\vec{AD}$.

473. Начертите треугольник ABC. Постройте векторы $ \vec{AC} - \vec{CB} $, $ \vec{CA} - \vec{CB} $, $ \vec{BC} - \vec{CA} $.

Для решения задачи начертим произвольный треугольник ABC и выполним построения для каждого случая.

Чтобы построить вектор, соответствующий этому выражению, сначала упростим его, используя правила действий с векторами. Вычитание вектора $\overrightarrow{CB}$ эквивалентно прибавлению противоположного ему вектора, то есть $(-\overrightarrow{CB})$.

$\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{CB} = \overrightarrow{AC} + (-\overrightarrow{CB})$

Вектор, противоположный вектору $\overrightarrow{CB}$, — это вектор $\overrightarrow{BC}$. Таким образом, выражение принимает вид:

$\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BC}$

Чтобы геометрически сложить векторы $\overrightarrow{AC}$ и $\overrightarrow{BC}$, удобнее воспользоваться правилом параллелограмма. Для этого векторы должны исходить из одной точки. Заметим, что $\overrightarrow{AC} = -\overrightarrow{CA}$ и $\overrightarrow{BC} = -\overrightarrow{CB}$. Тогда:

$\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BC} = (-\overrightarrow{CA}) + (-\overrightarrow{CB}) = -(\overrightarrow{CA} + \overrightarrow{CB})$

Теперь задача сводится к построению суммы $\overrightarrow{CA} + \overrightarrow{CB}$, а затем нахождению противоположного вектора.

1. На сторонах треугольника $CA$ и $CB$ как на векторах, выходящих из общей точки $C$, строим параллелограмм $CADB$. Для этого из точки $A$ проводим прямую, параллельную $CB$, а из точки $B$ — прямую, параллельную $CA$. Точку их пересечения обозначаем $D$.
2. По правилу параллелограмма, сумма векторов $\overrightarrow{CA} + \overrightarrow{CB}$ равна вектору диагонали $\overrightarrow{CD}$.
3. Искомый вектор равен $-(\overrightarrow{CA} + \overrightarrow{CB}) = -\overrightarrow{CD}$, что соответствует вектору $\overrightarrow{DC}$.

Ответ: Искомый вектор — это вектор $\overrightarrow{DC}$, где $D$ — четвертая вершина параллелограмма $CADB$, построенного на векторах $\overrightarrow{CA}$ и $\overrightarrow{CB}$.

Это выражение представляет собой разность двух векторов, исходящих из одной точки $C$. По правилу вычитания векторов, исходящих из одной точки, разность $\overrightarrow{CA} - \overrightarrow{CB}$ — это вектор, начало которого находится в конце вычитаемого вектора (точка $B$), а конец — в конце уменьшаемого вектора (точка $A$).

$\overrightarrow{CA} - \overrightarrow{CB} = \overrightarrow{BA}$

Построение этого вектора сводится к проведению вектора из точки $B$ в точку $A$ вдоль стороны треугольника.

Ответ: Искомый вектор — это вектор $\overrightarrow{BA}$.

Упростим данное выражение, заменив вычитание на сложение с противоположным вектором:

$\overrightarrow{BC} - \overrightarrow{CA} = \overrightarrow{BC} + (-\overrightarrow{CA})$

Вектор, противоположный вектору $\overrightarrow{CA}$, — это вектор $\overrightarrow{AC}$. Получаем:

$\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{AC}$

Сложение векторов коммутативно, поэтому $\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BC}$. Это выражение в точности совпадает с выражением из первого пункта. Следовательно, результат и построение будут такими же.

Ответ: Искомый вектор — это вектор $\overrightarrow{DC}$, где $D$ — четвертая вершина параллелограмма $CADB$, построенного на векторах $\overrightarrow{CA}$ и $\overrightarrow{CB}$.

474. Отметьте четыре точки M, N, P, Q. Постройте вектор $ \vec{MN} + \vec{NP} + \vec{PQ} $.

Для решения задачи воспользуемся правилом последовательного сложения векторов, также известным как правило многоугольника или правило Шаля. Согласно этому правилу, сумма векторов, в которой начало каждого следующего вектора совпадает с концом предыдущего, равна вектору, у которого начало совпадает с началом первого вектора, а конец — с концом последнего.

Проанализируем сумму векторов $\overline{MN} + \overline{NP} + \overline{PQ}$:

1. Сначала найдём сумму первых двух векторов: $\overline{MN} + \overline{NP}$. Конец вектора $\overline{MN}$ (точка N) является началом вектора $\overline{NP}$. Поэтому их сумма равна вектору, соединяющему начало первого вектора (M) с концом второго (P):

$\overline{MN} + \overline{NP} = \overline{MP}$

2. Теперь к полученному результату прибавим третий вектор $\overline{PQ}$:

$(\overline{MN} + \overline{NP}) + \overline{PQ} = \overline{MP} + \overline{PQ}$

Конец вектора $\overline{MP}$ (точка P) является началом вектора $\overline{PQ}$. Следовательно, их сумма равна вектору, соединяющему начало вектора $\overline{MP}$ (M) с концом вектора $\overline{PQ}$ (Q):

$\overline{MP} + \overline{PQ} = \overline{MQ}$

Таким образом, искомая сумма векторов равна вектору $\overline{MQ}$.

Теперь выполним построение, следуя условию задачи.

Отметьте четыре точки M, N, P, Q.

На плоскости необходимо отметить четыре точки в произвольном месте. Их взаимное расположение (например, лежат ли они на одной прямой или нет) не влияет на конечный результат.

Постройте вектор $\overline{MN} + \overline{NP} + \overline{PQ}$.

Как было показано выше, сумма данных векторов равна вектору $\overline{MQ}$. Это означает, что для построения результирующего вектора нужно просто соединить начальную точку всей последовательности векторов (точка M) с конечной точкой (точка Q). Таким образом, следует провести направленный отрезок из точки M в точку Q. Этот отрезок и будет искомым вектором.

Ответ: Вектор, равный сумме $\overline{MN} + \overline{NP} + \overline{PQ}$, — это вектор $\overline{MQ}$. Для его построения нужно отметить четыре произвольные точки M, N, P, Q и провести направленный отрезок от точки M к точке Q.