Номер 467, страница 119 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

467. С помощью правила параллелограмма постройте сумму векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$, изображённых на рисунке 118, а–г.

Для построения суммы двух векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ по правилу параллелограмма необходимо выполнить следующие шаги:

1. Отложить от произвольной точки O плоскости векторы $\vec{OA} = \vec{a}$ и $\vec{OB} = \vec{b}$, так чтобы они имели общее начало.
2. На векторах $\vec{OA}$ и $\vec{OB}$ как на смежных сторонах построить параллелограмм OACB. Для этого через точку A проводится прямая, параллельная вектору $\vec{OB}$, а через точку B — прямая, параллельная вектору $\vec{OA}$. Точка пересечения этих прямых и будет вершиной C.
3. Вектор $\vec{OC}$, исходящий из общего начала векторов и являющийся диагональю этого параллелограмма, будет являться их суммой: $\vec{c} = \vec{a} + \vec{b} = \vec{OC}$.

Так как в условии задачи не приведены сами рисунки 118, а-г, мы рассмотрим четыре типичных случая расположения векторов.

а) Векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ не коллинеарны и отложены из одной точки.

В этом случае векторы уже имеют общее начало. Достаточно достроить на них параллелограмм OACB. Вектор $\vec{c} = \vec{OC}$, являющийся диагональю параллелограмма, и будет искомой суммой $\vec{a} + \vec{b}$.

Ответ: Построение искомого вектора $\vec{c} = \vec{a} + \vec{b}$ показано на рисунке.

б) Векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ не коллинеарны и их начала не совпадают.

Сначала необходимо выполнить параллельный перенос векторов так, чтобы их начала совпали в некоторой произвольной точке O. Получим векторы $\vec{OA} = \vec{a}$ и $\vec{OB} = \vec{b}$. Далее действуем как в пункте а): строим параллелограмм OACB и находим его диагональ $\vec{OC}$. Этот вектор и будет суммой исходных векторов.

Ответ: Построение искомого вектора $\vec{c} = \vec{a} + \vec{b}$ показано на рисунке.

в) Векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ коллинеарны и сонаправлены.

Этот случай является вырожденным для правила параллелограмма. Отложим векторы $\vec{OA} = \vec{a}$ и $\vec{OB} = \vec{b}$ от общего начала O. Так как они сонаправлены, они будут лежать на одной прямой (или на параллельных прямых, но для правила мы их совмещаем в одной точке). "Параллелограмм" OACB вырождается в отрезок. Суммирующий вектор $\vec{c} = \vec{OC}$ будет сонаправлен с исходными векторами, а его длина будет равна сумме длин исходных векторов: $|\vec{c}| = |\vec{a}| + |\vec{b}|$.

Ответ: Построение искомого вектора $\vec{c} = \vec{a} + \vec{b}$ показано на рисунке.

г) Векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ коллинеарны и противоположно направлены.

Это также вырожденный случай. Отложим векторы $\vec{OA} = \vec{a}$ и $\vec{OB} = \vec{b}$ от общего начала O. Они будут лежать на одной прямой, но направлены в разные стороны. Чтобы построить параллелограмм OACB, мы откладываем от точки A вектор, равный $\vec{OB}$. Его конец C окажется на отрезке OA (если $|\vec{a}| > |\vec{b}|$) или на продолжении отрезка OA за точку O (если $|\vec{a}| < |\vec{b}|$). Суммирующий вектор $\vec{c} = \vec{OC}$ будет направлен в сторону большего по модулю вектора, а его длина будет равна разности длин (модулей) исходных векторов: $|\vec{c}| = ||\vec{a}| - |\vec{b}||$.

Ответ: Построение искомого вектора $\vec{c} = \vec{a} + \vec{b}$ показано на рисунке.