Номер 471, страница 119 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

$BC + \vec{BC}, \vec{CA} + \vec{AD}, \vec{BC} + \vec{AB}, \vec{AC} + \vec{BB}.$

471. Начертите треугольник MNP. Постройте векторы $\vec{MP} + \vec{PN}, \vec{MN} + \vec{PN}, \vec{MN} + \vec{MP}$.

Начертим произвольный треугольник $MNP$. Для построения требуемых векторов будем использовать правило треугольника и правило параллелограмма для сложения векторов.

$\vec{MP} + \vec{PN}$

Для нахождения суммы векторов $\vec{MP}$ и $\vec{PN}$ применим правило треугольника (также известное как правило сложения "конец к началу"). Начало второго вектора $\vec{PN}$ (точка $P$) совпадает с концом первого вектора $\vec{MP}$ (точка $P$). По этому правилу, результирующий вектор (сумма) начинается в начальной точке первого вектора (точка $M$) и заканчивается в конечной точке второго вектора (точка $N$). Следовательно, $\vec{MP} + \vec{PN} = \vec{MN}$. Искомый вектор — это вектор $\vec{MN}$, который совпадает со стороной исходного треугольника.

Ответ: $\vec{MN}$.

$\vec{MN} + \vec{PN}$

Для сложения векторов $\vec{MN}$ и $\vec{PN}$ неудобно напрямую применять стандартные правила, так как у них разные начала и они не следуют друг за другом. Преобразуем сумму, используя противоположные векторы. Заметим, что $\vec{MN} = -\vec{NM}$ и $\vec{PN} = -\vec{NP}$. Тогда сумма равна: $\vec{MN} + \vec{PN} = -\vec{NM} - \vec{NP} = -(\vec{NM} + \vec{NP})$. Теперь мы можем построить сумму векторов $\vec{NM}$ и $\vec{NP}$, так как они исходят из одной точки $N$. Для этого используем правило параллелограмма:
1. Построим точку $Q$ так, чтобы четырехугольник $NMPQ$ был параллелограммом. Для этого через точку $M$ проведем прямую, параллельную $NP$, а через точку $P$ — прямую, параллельную $NM$. Точка их пересечения и будет искомой точкой $Q$.
2. По правилу параллелограмма, сумма $\vec{NM} + \vec{NP}$ равна вектору-диагонали $\vec{NQ}$.
3. Искомая сумма $\vec{MN} + \vec{PN}$ равна вектору, противоположному $\vec{NQ}$, то есть вектору $\vec{QN}$.

Ответ: Вектор $\vec{QN}$, где $Q$ — четвертая вершина параллелограмма $NMPQ$.

$\vec{MN} + \vec{MP}$

Векторы $\vec{MN}$ и $\vec{MP}$ имеют общее начало в точке $M$. Для нахождения их суммы удобно воспользоваться правилом параллелограмма.
1. Построим на векторах $\vec{MN}$ и $\vec{MP}$ как на смежных сторонах параллелограмм. Обозначим его $MNQP$.
2. Для этого через точку $N$ проведем прямую, параллельную отрезку $MP$, а через точку $P$ — прямую, параллельную отрезку $MN$.
3. Точку пересечения этих прямых обозначим $Q$.
4. Согласно правилу параллелограмма, суммой векторов $\vec{MN}$ и $\vec{MP}$ является вектор, совпадающий с диагональю $MQ$ этого параллелограмма, который исходит из их общего начала $M$.
Таким образом, $\vec{MN} + \vec{MP} = \vec{MQ}$.

Ответ: Вектор $\vec{MQ}$, где $Q$ — четвертая вершина параллелограмма $MNQP$, построенного на векторах $\vec{MN}$ и $\vec{MP}$.