Номер 473, страница 119 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

473. Начертите треугольник ABC. Постройте векторы $ \vec{AC} - \vec{CB} $, $ \vec{CA} - \vec{CB} $, $ \vec{BC} - \vec{CA} $.

Для решения задачи начертим произвольный треугольник ABC и выполним построения для каждого случая.

Чтобы построить вектор, соответствующий этому выражению, сначала упростим его, используя правила действий с векторами. Вычитание вектора $\overrightarrow{CB}$ эквивалентно прибавлению противоположного ему вектора, то есть $(-\overrightarrow{CB})$.

$\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{CB} = \overrightarrow{AC} + (-\overrightarrow{CB})$

Вектор, противоположный вектору $\overrightarrow{CB}$, — это вектор $\overrightarrow{BC}$. Таким образом, выражение принимает вид:

$\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BC}$

Чтобы геометрически сложить векторы $\overrightarrow{AC}$ и $\overrightarrow{BC}$, удобнее воспользоваться правилом параллелограмма. Для этого векторы должны исходить из одной точки. Заметим, что $\overrightarrow{AC} = -\overrightarrow{CA}$ и $\overrightarrow{BC} = -\overrightarrow{CB}$. Тогда:

$\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BC} = (-\overrightarrow{CA}) + (-\overrightarrow{CB}) = -(\overrightarrow{CA} + \overrightarrow{CB})$

Теперь задача сводится к построению суммы $\overrightarrow{CA} + \overrightarrow{CB}$, а затем нахождению противоположного вектора.

1. На сторонах треугольника $CA$ и $CB$ как на векторах, выходящих из общей точки $C$, строим параллелограмм $CADB$. Для этого из точки $A$ проводим прямую, параллельную $CB$, а из точки $B$ — прямую, параллельную $CA$. Точку их пересечения обозначаем $D$.
2. По правилу параллелограмма, сумма векторов $\overrightarrow{CA} + \overrightarrow{CB}$ равна вектору диагонали $\overrightarrow{CD}$.
3. Искомый вектор равен $-(\overrightarrow{CA} + \overrightarrow{CB}) = -\overrightarrow{CD}$, что соответствует вектору $\overrightarrow{DC}$.

Ответ: Искомый вектор — это вектор $\overrightarrow{DC}$, где $D$ — четвертая вершина параллелограмма $CADB$, построенного на векторах $\overrightarrow{CA}$ и $\overrightarrow{CB}$.

Это выражение представляет собой разность двух векторов, исходящих из одной точки $C$. По правилу вычитания векторов, исходящих из одной точки, разность $\overrightarrow{CA} - \overrightarrow{CB}$ — это вектор, начало которого находится в конце вычитаемого вектора (точка $B$), а конец — в конце уменьшаемого вектора (точка $A$).

$\overrightarrow{CA} - \overrightarrow{CB} = \overrightarrow{BA}$

Построение этого вектора сводится к проведению вектора из точки $B$ в точку $A$ вдоль стороны треугольника.

Ответ: Искомый вектор — это вектор $\overrightarrow{BA}$.

Упростим данное выражение, заменив вычитание на сложение с противоположным вектором:

$\overrightarrow{BC} - \overrightarrow{CA} = \overrightarrow{BC} + (-\overrightarrow{CA})$

Вектор, противоположный вектору $\overrightarrow{CA}$, — это вектор $\overrightarrow{AC}$. Получаем:

$\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{AC}$

Сложение векторов коммутативно, поэтому $\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BC}$. Это выражение в точности совпадает с выражением из первого пункта. Следовательно, результат и построение будут такими же.

Ответ: Искомый вектор — это вектор $\overrightarrow{DC}$, где $D$ — четвертая вершина параллелограмма $CADB$, построенного на векторах $\overrightarrow{CA}$ и $\overrightarrow{CB}$.