Номер 480, страница 120 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

480. Дан треугольник ABC. Выразите вектор $\vec{BC}$ через векторы:

1) $\vec{CA}$ и $\vec{AB}$;

2) $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$.

Для решения этой задачи мы будем использовать правило сложения векторов (также известное как правило треугольника или правило Шаля). Для любых трех точек $A$, $B$ и $C$ в пространстве справедливо векторное равенство: $ \vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC} $. Это означает, что перемещение из точки $A$ в точку $B$, а затем из $B$ в $C$ эквивалентно перемещению напрямую из $A$ в $C$.

1) $\vec{CA}$ и $\vec{AB}$;
Мы можем составить путь из точки $C$ в точку $B$, пройдя через точку $A$. По правилу сложения векторов, это записывается как: $ \vec{CA} + \vec{AB} = \vec{CB} $ Нам необходимо найти вектор $ \vec{BC} $, который является противоположным вектору $ \vec{CB} $. Это означает, что их направления противоположны, а длины равны. Математически это записывается как: $ \vec{BC} = -\vec{CB} $ Теперь подставим в это равенство полученное ранее выражение для $ \vec{CB} $: $ \vec{BC} = -(\vec{CA} + \vec{AB}) $ Раскрыв скобки, получаем итоговый результат: $ \vec{BC} = -\vec{CA} - \vec{AB} $
Ответ: $ \vec{BC} = -\vec{CA} - \vec{AB} $

2) $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$.
Воспользуемся основным правилом сложения векторов для треугольника $ABC$: $ \vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC} $ Наша цель — выразить вектор $ \vec{BC} $. Для этого изолируем его в левой части уравнения, перенеся вектор $ \vec{AB} $ в правую часть. При переносе через знак равенства знак вектора меняется на противоположный: $ \vec{BC} = \vec{AC} - \vec{AB} $ Это выражение является правилом вычитания векторов. Оно гласит, что вектор разности двух векторов, выходящих из одной точки, — это вектор, соединяющий их концы и направленный в сторону вектора-уменьшаемого.
Ответ: $ \vec{BC} = \vec{AC} - \vec{AB} $