Номер 486, страница 121 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

486. Точки M и N – соответственно середины сторон BA и BC треугольника ABC. Выразите векторы $\vec{AM}$, $\vec{NC}$, $\vec{MN}$, $\vec{NB}$ через векторы $\vec{BM} = \vec{m}$ и $\vec{BN} = \vec{n}$.

Выражение вектора $\vec{AM}$

По условию задачи, точка M является серединой стороны BA. Это означает, что отрезки AM и MB равны. Векторы $\vec{AM}$ и $\vec{MB}$ сонаправлены (оба направлены от A к B) и равны по длине. Следовательно, $\vec{AM} = \vec{MB}$.
Вектор $\vec{MB}$ противоположен вектору $\vec{BM}$. По условию дано, что $\vec{BM} = \vec{m}$.
Значит, $\vec{MB} = -\vec{BM} = -\vec{m}$.
Таким образом, $\vec{AM} = -\vec{m}$.
Ответ: $\vec{AM} = -\vec{m}$.

Выражение вектора $\vec{NC}$

По условию, точка N является серединой стороны BC. Это означает, что отрезки BN и NC равны. Векторы $\vec{BN}$ и $\vec{NC}$ сонаправлены (оба направлены от B к C) и равны по длине. Следовательно, $\vec{NC} = \vec{BN}$.
По условию нам дано, что $\vec{BN} = \vec{n}$.
Следовательно, $\vec{NC} = \vec{n}$.
Ответ: $\vec{NC} = \vec{n}$.

Выражение вектора $\vec{MN}$

Чтобы выразить вектор $\vec{MN}$, воспользуемся правилом треугольника для сложения векторов. Вектор $\vec{MN}$ можно представить как сумму векторов, идущих из точки M в точку N через точку B:
$\vec{MN} = \vec{MB} + \vec{BN}$
Как мы нашли в первом пункте, $\vec{MB} = -\vec{m}$.
Из условия дано, что $\vec{BN} = \vec{n}$.
Подставим эти выражения в формулу:
$\vec{MN} = -\vec{m} + \vec{n}$, что принято записывать как $\vec{MN} = \vec{n} - \vec{m}$.
Ответ: $\vec{MN} = \vec{n} - \vec{m}$.

Выражение вектора $\vec{NB}$

Вектор $\vec{NB}$ является противоположным вектору $\vec{BN}$. Это означает, что он имеет такую же длину, но направлен в противоположную сторону.
$\vec{NB} = -\vec{BN}$
По условию задачи $\vec{BN} = \vec{n}$.
Следовательно, $\vec{NB} = -\vec{n}$.
Ответ: $\vec{NB} = -\vec{n}$.