Номер 482, страница 120 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

482. Дан параллелограмм $ABCD$. Выразите векторы $\vec{AC}$, $\vec{BD}$, $\vec{BC}$ через векторы $\vec{BA} = \vec{a}$, $\vec{DA} = \vec{b}$.

$\vec{AC}$

Для нахождения вектора диагонали $\vec{AC}$ воспользуемся правилом сложения векторов для треугольника ABC (правило треугольника): $\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{BC}$.

Сначала выразим векторы $\vec{AB}$ и $\vec{BC}$ через данные векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$.

1. Вектор $\vec{AB}$ противоположен вектору $\vec{BA}$. По условию $\vec{BA} = \vec{a}$, следовательно, $\vec{AB} = -\vec{BA} = -\vec{a}$.

2. В параллелограмме ABCD противолежащие стороны равны и параллельны, поэтому векторы, соответствующие этим сторонам и имеющие одинаковое направление, равны. Таким образом, $\vec{BC} = \vec{AD}$.

Вектор $\vec{AD}$ противоположен вектору $\vec{DA}$. По условию $\vec{DA} = \vec{b}$, значит, $\vec{AD} = -\vec{DA} = -\vec{b}$.

Следовательно, $\vec{BC} = -\vec{b}$.

3. Теперь подставим найденные выражения для векторов $\vec{AB}$ и $\vec{BC}$ в исходное равенство:

$\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{BC} = (-\vec{a}) + (-\vec{b}) = -\vec{a} - \vec{b} = -(\vec{a} + \vec{b})$.

Ответ: $\vec{AC} = -(\vec{a} + \vec{b})$.

$\vec{BD}$

Для нахождения вектора диагонали $\vec{BD}$ воспользуемся правилом сложения векторов для треугольника ABD (правило треугольника): $\vec{BD} = \vec{BA} + \vec{AD}$.

1. Вектор $\vec{BA}$ дан по условию: $\vec{BA} = \vec{a}$.

2. Вектор $\vec{AD}$ противоположен вектору $\vec{DA}$. По условию $\vec{DA} = \vec{b}$, следовательно, $\vec{AD} = -\vec{DA} = -\vec{b}$.

3. Подставим выражения для векторов $\vec{BA}$ и $\vec{AD}$ в формулу:

$\vec{BD} = \vec{BA} + \vec{AD} = \vec{a} + (-\vec{b}) = \vec{a} - \vec{b}$.

Ответ: $\vec{BD} = \vec{a} - \vec{b}$.

$\vec{BC}$

В параллелограмме ABCD противолежащие стороны BC и AD параллельны и равны по длине. Это означает, что векторы $\vec{BC}$ и $\vec{AD}$ равны.

$\vec{BC} = \vec{AD}$.

По условию задачи нам дан вектор $\vec{DA} = \vec{b}$. Вектор $\vec{AD}$ является противоположным ему по направлению.

Следовательно, $\vec{AD} = -\vec{DA} = -\vec{b}$.

Таким образом, мы можем выразить вектор $\vec{BC}$:

$\vec{BC} = -\vec{b}$.

Ответ: $\vec{BC} = -\vec{b}$.