Номер 481, страница 120 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

481. Дан параллелограмм $ABCD$. Выразите векторы $\vec{AB}$, $\vec{BC}$, $\vec{DA}$ через векторы $\vec{CA} = \vec{a}$, $\vec{CD} = \vec{c}$.

Поскольку $ABCD$ — это параллелограмм, его противоположные стороны параллельны и равны по длине. В векторной форме это означает, что $\vec{AB} = \vec{DC}$ и $\vec{BC} = \vec{AD}$. Нам даны векторы $\vec{CA} = \vec{a}$ и $\vec{CD} = \vec{c}$.

$\vec{AB}$

Вектор $\vec{AB}$ равен вектору $\vec{DC}$, так как это векторы, представляющие противоположные стороны параллелограмма, направленные в одну сторону. Вектор $\vec{DC}$ является противоположным вектору $\vec{CD}$, то есть $\vec{DC} = -\vec{CD}$. Так как по условию $\vec{CD} = \vec{c}$, получаем $\vec{DC} = -\vec{c}$. Следовательно, $\vec{AB} = -\vec{c}$.

Ответ: $\vec{AB} = -\vec{c}$

$\vec{BC}$

Для нахождения вектора $\vec{BC}$ воспользуемся правилом треугольника для векторов в треугольнике $ABC$: $\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}$. Отсюда следует, что $\vec{BC} = \vec{AC} - \vec{AB}$. Из предыдущего пункта мы знаем, что $\vec{AB} = -\vec{c}$. Вектор $\vec{AC}$ противоположен данному вектору $\vec{CA} = \vec{a}$, поэтому $\vec{AC} = -\vec{CA} = -\vec{a}$. Подставив эти значения, получим: $\vec{BC} = (-\vec{a}) - (-\vec{c}) = -\vec{a} + \vec{c} = \vec{c} - \vec{a}$.

Ответ: $\vec{BC} = \vec{c} - \vec{a}$

$\vec{DA}$

Для нахождения вектора $\vec{DA}$ применим правило треугольника к треугольнику $CDA$: $\vec{CD} + \vec{DA} = \vec{CA}$. Выразим искомый вектор: $\vec{DA} = \vec{CA} - \vec{CD}$. Теперь подставим данные из условия задачи, $\vec{CA} = \vec{a}$ и $\vec{CD} = \vec{c}$. Таким образом, получаем, что $\vec{DA} = \vec{a} - \vec{c}$.

Ответ: $\vec{DA} = \vec{a} - \vec{c}$