Номер 483, страница 120 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

483. Дан параллелограмм ABCD. Выразите векторы $\overrightarrow{BC}$, $\overrightarrow{DC}$, $\overrightarrow{DA}$ через векторы $\overrightarrow{AB} = \vec{a}$, $\overrightarrow{BD} = \vec{b}$.

Дан параллелограмм $ABCD$. Нам известны векторы $\vec{AB} = \vec{a}$ и $\vec{BD} = \vec{b}$. Наша задача — выразить векторы $\vec{BC}$, $\vec{DC}$ и $\vec{DA}$ через $\vec{a}$ и $\vec{b}$.

$\vec{DC}$

В параллелограмме $ABCD$ противоположные стороны $AB$ и $DC$ параллельны и равны. Векторы, лежащие на этих сторонах и имеющие одинаковое направление (от $A$ к $B$ и от $D$ к $C$), равны. Следовательно, $\vec{DC} = \vec{AB}$. Поскольку по условию $\vec{AB} = \vec{a}$, то $\vec{DC} = \vec{a}$.

Ответ: $\vec{DC} = \vec{a}$.

$\vec{DA}$

Рассмотрим векторы, образующие треугольник $ABD$: $\vec{AB}$, $\vec{BD}$ и $\vec{DA}$. По правилу замыкания (или правилу треугольника) сумма этих векторов равна нулевому вектору: $\vec{AB} + \vec{BD} + \vec{DA} = \vec{0}$. Выразим отсюда искомый вектор $\vec{DA}$: $\vec{DA} = -(\vec{AB} + \vec{BD})$. Подставим известные значения $\vec{AB} = \vec{a}$ и $\vec{BD} = \vec{b}$: $\vec{DA} = -(\vec{a} + \vec{b}) = -\vec{a} - \vec{b}$.

Ответ: $\vec{DA} = -\vec{a} - \vec{b}$.

$\vec{BC}$

В параллелограмме $ABCD$ противоположные стороны $BC$ и $AD$ также параллельны и равны. Следовательно, соответствующие им векторы равны: $\vec{BC} = \vec{AD}$. Вектор $\vec{AD}$ является противоположным вектору $\vec{DA}$, который мы уже нашли: $\vec{AD} = -\vec{DA}$. Используя результат для $\vec{DA}$, получаем: $\vec{AD} = -(-\vec{a} - \vec{b}) = \vec{a} + \vec{b}$. Таким образом, $\vec{BC} = \vec{a} + \vec{b}$.

Ответ: $\vec{BC} = \vec{a} + \vec{b}$.