Номер 477, страница 120 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

477. Отложите от одной точки три вектора, модули которых равны, так, чтобы их сумма была равна нуль-вектору.

Пусть из точки $O$ отложены три вектора $\vec{a}$, $\vec{b}$ и $\vec{c}$. По условию задачи, их модули (длины) равны. Обозначим эту длину как $L$:

$|\vec{a}| = |\vec{b}| = |\vec{c}| = L$, где $L > 0$.

Также по условию, сумма этих векторов равна нуль-вектору:

$\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} = \vec{0}$.

Из этого равенства можно выразить один вектор через два других. Например, выразим вектор $\vec{c}$:

$\vec{c} = -(\vec{a} + \vec{b})$.

Это означает, что вектор $\vec{c}$ является противоположным вектору суммы $\vec{a} + \vec{b}$. Следовательно, их модули равны:

$|\vec{c}| = |-(\vec{a} + \vec{b})| = |\vec{a} + \vec{b}|$.

Так как $|\vec{c}| = L$, то и $|\vec{a} + \vec{b}| = L$.

Теперь найдем модуль суммы векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$. Векторы отложены от одной точки. Пусть угол между ними равен $\alpha$. По правилу параллелограмма, модуль суммы векторов можно найти по теореме косинусов:

$|\vec{a} + \vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + 2|\vec{a}||\vec{b}|\cos\alpha$.

Подставим известные значения в это уравнение:

$L^2 = L^2 + L^2 + 2 \cdot L \cdot L \cdot \cos\alpha$

$L^2 = 2L^2 + 2L^2\cos\alpha$

Поскольку $L \neq 0$, мы можем разделить обе части уравнения на $L^2$:

$1 = 2 + 2\cos\alpha$

$2\cos\alpha = 1 - 2$

$2\cos\alpha = -1$

$\cos\alpha = -\frac{1}{2}$

Отсюда следует, что угол $\alpha = 120^\circ$.

Проведя аналогичные рассуждения для пар векторов $(\vec{a}, \vec{c})$ и $(\vec{b}, \vec{c})$, мы получим, что угол между каждой парой векторов также равен $120^\circ$.

Таким образом, три вектора должны лежать в одной плоскости (так как сумма углов вокруг общей точки их начал составляет $120^\circ + 120^\circ + 120^\circ = 360^\circ$) и быть направлены под углом $120^\circ$ друг к другу.

Ответ: Чтобы сумма трех векторов равного модуля, отложенных от одной точки, была равна нуль-вектору, необходимо, чтобы эти векторы лежали в одной плоскости, а угол между любыми двумя из них составлял $120^\circ$.