Номер 470, страница 119 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

470. Начертите параллелограмм $ABCD$. Постройте векторы $\vec{BC} + \vec{BA}$, $\vec{BC} + \vec{DC}$, $\vec{BC} + \vec{CA}$, $\vec{BC} + \vec{AD}$, $\vec{AC} + \vec{DB}$.

Для решения задачи начертим параллелограмм ABCD. Будем использовать правило треугольника (правило Шаля) для сложения векторов ($\overrightarrow{XY} + \overrightarrow{YZ} = \overrightarrow{XZ}$), правило параллелограмма, а также свойства параллелограмма, из которых следует, что $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$ и $\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC}$.

$\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{BA}$

Для нахождения суммы векторов, выходящих из одной точки B, воспользуемся правилом параллелограмма. Сумма $\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{BA}$ равна вектору диагонали параллелограмма, построенного на векторах $\overrightarrow{BC}$ и $\overrightarrow{BA}$. В параллелограмме ABCD эта диагональ совпадает с диагональю $\overrightarrow{BD}$.
Также можно использовать правило треугольника. Так как ABCD — параллелограмм, то $\overrightarrow{BA} = \overrightarrow{CD}$. Заменим вектор $\overrightarrow{BA}$ в сумме:
$\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{BA} = \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD}$.
По правилу треугольника, эта сумма равна $\overrightarrow{BD}$.
Ответ: $\overrightarrow{BD}$.

$\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{DC}$

Векторы в данной сумме приложены к разным точкам. Для их сложения воспользуемся свойством параллелограмма, согласно которому $\overrightarrow{DC} = \overrightarrow{AB}$.
Подставим это в исходное выражение:
$\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{DC} = \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{AB}$.
От перестановки слагаемых сумма не меняется, поэтому: $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}$.
По правилу треугольника, эта сумма равна вектору $\overrightarrow{AC}$.
Ответ: $\overrightarrow{AC}$.

$\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CA}$

В данной сумме конец первого вектора ($\overrightarrow{BC}$) совпадает с началом второго вектора ($\overrightarrow{CA}$). Это классический случай применения правила треугольника (правила Шаля).
$\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CA} = \overrightarrow{BA}$.
Суммой является вектор, соединяющий начало первого вектора (точка B) и конец второго (точка A).
Ответ: $\overrightarrow{BA}$.

$\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{AD}$

Так как ABCD — параллелограмм, его противоположные стороны параллельны и равны по длине. Следовательно, векторы, лежащие на этих сторонах и имеющие одинаковое направление, равны: $\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC}$.
Заменим вектор $\overrightarrow{AD}$ в сумме:
$\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{BC} = 2\overrightarrow{BC}$.
Искомый вектор сонаправлен с вектором $\overrightarrow{BC}$ и имеет вдвое большую длину. Для его построения нужно продлить отрезок BC за точку C на его длину.
Ответ: $2\overrightarrow{BC}$.

$\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{DB}$

Это сумма векторов, являющихся диагоналями параллелограмма. Выразим их через векторы сторон, выходящих из вершины A: $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{AD}$.
По правилу параллелограмма сложения векторов (или правилу треугольника $\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}$, а $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}$):
$\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}$.
Вектор $\overrightarrow{DB}$ можно выразить как разность векторов: $\overrightarrow{DB} = \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AD}$ (это следует из правила треугольника $\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DB} = \overrightarrow{AB}$).
Теперь сложим полученные выражения:
$\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{DB} = (\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}) + (\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AD}) = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AD} = 2\overrightarrow{AB}$.
Искомый вектор сонаправлен с вектором $\overrightarrow{AB}$ и имеет вдвое большую длину.
Ответ: $2\overrightarrow{AB}$.