Номер 476, страница 120 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

476. Отложите от одной точки три вектора, модули которых равны, так, чтобы сумма двух из них была равна третьему вектору.

Пусть нам нужно отложить от одной точки O три вектора $\vec{a}$, $\vec{b}$ и $\vec{c}$.

Согласно условию задачи, их модули (длины) должны быть равны. Обозначим эту равную длину как $L$:

$|\vec{a}| = |\vec{b}| = |\vec{c}| = L$, где $L$ — некоторое положительное число.

Также, по условию, сумма двух векторов должна быть равна третьему. Без ограничения общности, пусть это будут векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$, сумма которых равна вектору $\vec{c}$:

$\vec{a} + \vec{b} = \vec{c}$

Теперь воспользуемся свойством модуля суммы векторов. Квадрат модуля суммы двух векторов можно выразить через их скалярное произведение:

$|\vec{a} + \vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b})$

Скалярное произведение векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ определяется как $|\vec{a}||\vec{b}|\cos\alpha$, где $\alpha$ — угол между этими векторами. Подставим это выражение в формулу:

$|\vec{a} + \vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + 2|\vec{a}||\vec{b}|\cos\alpha$

Теперь подставим в это уравнение условия нашей задачи: $|\vec{a} + \vec{b}| = |\vec{c}| = L$, а также $|\vec{a}| = L$ и $|\vec{b}| = L$.

$L^2 = L^2 + L^2 + 2 \cdot L \cdot L \cdot \cos\alpha$

$L^2 = 2L^2 + 2L^2\cos\alpha$

Поскольку длина векторов $L$ не равна нулю, мы можем разделить обе части уравнения на $L^2$:

$1 = 2 + 2\cos\alpha$

Отсюда выразим $\cos\alpha$:

$2\cos\alpha = 1 - 2 = -1$

$\cos\alpha = -1/2$

Угол $\alpha$, косинус которого равен -1/2, составляет $120^{\circ}$.

Таким образом, для выполнения условий задачи необходимо, чтобы угол между двумя векторами ($\vec{a}$ и $\vec{b}$) был равен $120^{\circ}$. Их сумма, вектор $\vec{c}$, будет иметь ту же длину $L$.

Геометрически это можно построить следующим образом:

1. Выберите произвольную точку O — начало всех векторов.
2. Отложите от точки O два вектора, $\vec{a}$ и $\vec{b}$, одинаковой длины $L$ так, чтобы угол между ними составлял $120^{\circ}$.
3. Для нахождения суммы $\vec{c} = \vec{a} + \vec{b}$ воспользуйтесь правилом параллелограмма. Постройте на векторах $\vec{a}$ и $\vec{b}$ как на сторонах параллелограмм. Так как стороны равны, это будет ромб.
4. Диагональ этого ромба, исходящая из точки O, и будет искомым третьим вектором $\vec{c}$. Длина этой диагонали будет равна $L$.

В получившейся конфигурации диагональ ромба $\vec{c}$ является биссектрисой угла между сторонами $\vec{a}$ и $\vec{b}$. Следовательно, угол между вектором $\vec{c}$ и вектором $\vec{a}$ будет равен $120^{\circ}/2 = 60^{\circ}$, и угол между $\vec{c}$ и $\vec{b}$ также будет равен $60^{\circ}$.

Ответ: Необходимо отложить от одной точки два вектора одинаковой длины под углом $120^{\circ}$ друг к другу. Третьим вектором будет их векторная сумма, построенная по правилу параллелограмма. Этот третий вектор будет иметь ту же длину, что и первые два, и будет направлен так, что образует с каждым из них угол в $60^{\circ}$.