Номер 478, страница 120 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

478. Для точек A, B, C, D, изображённых на рисунке 120, постройте такой вектор $\vec{x}$, чтобы $\vec{AB} + \vec{CB} + \vec{CD} + \vec{x} = \vec{0}$.

Рис. 120

Для нахождения вектора $\vec{x}$ выразим его из данного в условии уравнения:

$\vec{AB} + \vec{CB} + \vec{CD} + \vec{x} = \vec{0}$

Перенесем сумму известных векторов в правую часть уравнения:

$\vec{x} = -(\vec{AB} + \vec{CB} + \vec{CD})$

$\vec{x} = -\vec{AB} - \vec{CB} - \vec{CD}$

Используя свойство противоположного вектора, согласно которому $-\vec{PQ} = \vec{QP}$, заменим каждый вектор в правой части на противоположный ему:

$\vec{x} = \vec{BA} + \vec{BC} + \vec{DC}$

Теперь задача сводится к геометрическому построению суммы трех векторов: $\vec{BA}$, $\vec{BC}$ и $\vec{DC}$. Сложение будем выполнять последовательно, используя правило параллелограмма и правило треугольника.

Построение выглядит следующим образом:

1. Сначала сложим два вектора, выходящие из одной точки B: $\vec{BA}$ и $\vec{BC}$. По правилу параллелограмма, их сумма равна вектору, который является диагональю параллелограмма, построенного на этих векторах. Построим точку E так, чтобы четырехугольник ABCE был параллелограммом. Тогда суммой векторов будет вектор $\vec{BE} = \vec{BA} + \vec{BC}$.
2. Теперь к полученному вектору $\vec{BE}$ необходимо прибавить оставшийся вектор $\vec{DC}$. Таким образом, искомый вектор $\vec{x} = \vec{BE} + \vec{DC}$.
3. Для сложения векторов $\vec{BE}$ и $\vec{DC}$ используем правило треугольника (последовательного откладывания векторов). Для этого от конца первого вектора (точки E) отложим вектор $\vec{EF}$, равный вектору $\vec{DC}$. Вектор $\vec{EF}$ должен быть сонаправлен вектору $\vec{DC}$ и иметь ту же длину ($|\vec{EF}| = |\vec{DC}|$).
4. Суммой векторов $\vec{BE}$ и $\vec{EF}$ будет вектор, соединяющий начало первого вектора (точка B) и конец второго вектора (точка F).

Следовательно, искомый вектор $\vec{x}$ — это вектор $\vec{BF}$.

Ответ: Искомый вектор $\vec{x}$ — это вектор $\vec{BF}$, полученный в результате описанного выше построения, где точка E является вершиной параллелограмма ABCE, а вектор $\vec{EF}$ равен вектору $\vec{DC}$. Алгебраически $\vec{x} = \vec{BA} + \vec{BC} + \vec{DC}$.