Номер 475, страница 120 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

475. Для векторов $\vec{a}$, $\vec{b}$ и $\vec{c}$, изображённых на рисунке 119, постройте вектор:

1) $\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}$;

2) $\vec{a}+\vec{b}-\vec{c}$;

3) $-\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}$.

Рис. 119

а

б

в

Для решения задачи воспользуемся координатным и геометрическим (правило многоугольника) методами. Сначала определим координаты векторов $\vec{a}$, $\vec{b}$ и $\vec{c}$, используя рисунок 119, в, где все векторы отложены от одной точки. За единицу длины примем сторону одной клетки.

• Вектор $\vec{a}$ смещает точку на 2 клетки вправо и 2 клетки вверх, следовательно, его координаты $\vec{a}=(2, 2)$.
• Вектор $\vec{b}$ смещает точку на 4 клетки вправо и 1 клетку вверх, следовательно, его координаты $\vec{b}=(4, 1)$.
• Вектор $\vec{c}$ смещает точку на 1 клетку вправо и 2 клетки вниз, следовательно, его координаты $\vec{c}=(1, -2)$.

Чтобы построить вектор-сумму, нужно последовательно отложить векторы друг за другом по правилу многоугольника: начало следующего вектора совмещается с концом предыдущего. Результирующий вектор соединяет начало первого вектора с концом последнего.

1. Выбираем произвольную начальную точку O.
2. Откладываем от нее вектор $\vec{a}=(2, 2)$, получаем точку A.
3. От точки A откладываем вектор $\vec{b}=(4, 1)$, получаем точку B.
4. От точки B откладываем вектор $\vec{c}=(1, -2)$, получаем точку C.
5. Вектор $\vec{OC}$ является искомой суммой.

Вычислим координаты результирующего вектора путем сложения координат исходных векторов:
$\vec{a}+\vec{b}+\vec{c} = (2, 2) + (4, 1) + (1, -2) = (2+4+1, 2+1-2) = (7, 1)$.
Таким образом, результирующий вектор идет на 7 клеток вправо и на 1 клетку вверх.
Ответ: Результирующий вектор, построенный по правилу многоугольника, имеет координаты $(7, 1)$.

Вычитание вектора $\vec{c}$ равносильно прибавлению противоположного ему вектора $-\vec{c}$. Вектор $-\vec{c}$ имеет ту же длину, что и $\vec{c}$, но направлен в противоположную сторону. Его координаты равны координатам вектора $\vec{c}$, взятым с противоположным знаком: $-\vec{c} = -(1, -2) = (-1, 2)$.

Построение выполняется аналогично предыдущему пункту:

1. Выбираем произвольную начальную точку O.
2. Откладываем от нее вектор $\vec{a}=(2, 2)$, получаем точку A.
3. От точки A откладываем вектор $\vec{b}=(4, 1)$, получаем точку B.
4. От точки B откладываем вектор $-\vec{c}=(-1, 2)$, получаем точку D.
5. Вектор $\vec{OD}$ является искомым вектором.

Координаты результирующего вектора:
$\vec{a}+\vec{b}-\vec{c} = (2, 2) + (4, 1) - (1, -2) = (2+4-1, 2+1-(-2)) = (5, 5)$.
Результирующий вектор идет на 5 клеток вправо и на 5 клеток вверх.
Ответ: Результирующий вектор, построенный по правилу многоугольника, имеет координаты $(5, 5)$.

Аналогично предыдущему пункту, сначала находим вектор $-\vec{a}$, противоположный вектору $\vec{a}$. Если $\vec{a}=(2, 2)$, то $-\vec{a}=(-2, -2)$. Далее выполняем сложение векторов $-\vec{a}$, $\vec{b}$ и $\vec{c}$.

Построение по правилу многоугольника:

1. Выбираем произвольную начальную точку O.
2. Откладываем от нее вектор $-\vec{a}=(-2, -2)$, получаем точку E.
3. От точки E откладываем вектор $\vec{b}=(4, 1)$, получаем точку F.
4. От точки F откладываем вектор $\vec{c}=(1, -2)$, получаем точку G.
5. Вектор $\vec{OG}$ является искомым вектором.

Координаты результирующего вектора:
$-\vec{a}+\vec{b}+\vec{c} = -(2, 2) + (4, 1) + (1, -2) = (-2+4+1, -2+1-2) = (3, -3)$.
Результирующий вектор идет на 3 клетки вправо и на 3 клетки вниз.
Ответ: Результирующий вектор, построенный по правилу многоугольника, имеет координаты $(3, -3)$.