Номер 469, страница 119 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

469. Начертите треугольник $ABC$. Отложите от точки $A$ вектор, противоположный вектору:

1) $\vec{AB}$;

2) $\vec{CA}$;

3) $\vec{BC}$.

Для решения задачи сначала начертим произвольный треугольник $ABC$. Вектор, противоположный данному вектору $\vec{a}$, — это вектор $-\vec{a}$, который имеет такую же длину (модуль), что и вектор $\vec{a}$, но направлен в противоположную сторону.

1) $\vec{AB}$

Вектор, противоположный вектору $\vec{AB}$, есть вектор $-\vec{AB}$. По определению, $-\vec{AB} = \vec{BA}$. Наша задача — отложить от точки $A$ вектор, равный вектору $\vec{BA}$. Пусть искомый вектор будет $\vec{AD}$. Тогда должно выполняться равенство $\vec{AD} = \vec{BA}$. Это означает, что точка $D$ должна быть расположена на прямой, проходящей через точки $B$ и $A$. Направление от $A$ к $D$ должно совпадать с направлением от $B$ к $A$, а длина отрезка $AD$ должна быть равна длине отрезка $BA$. Для построения точки $D$ нужно продлить отрезок $BA$ за точку $A$ и на этом продолжении отложить отрезок $AD$, равный по длине отрезку $AB$. Таким образом, точка $A$ будет являться серединой отрезка $BD$.

Ответ: Искомый вектор — это $\vec{AD}$, где точка $D$ такова, что $A$ является серединой отрезка $BD$.

2) $\vec{CA}$

Вектор, противоположный вектору $\vec{CA}$, есть вектор $-\vec{CA}$. По определению, $-\vec{CA} = \vec{AC}$. Нам нужно отложить от точки $A$ вектор, равный вектору $\vec{AC}$. Вектор $\vec{AC}$ по определению начинается в точке $A$ и заканчивается в точке $C$. Так как по условию требуется отложить вектор именно от точки $A$, то искомый вектор полностью совпадает с вектором $\vec{AC}$, который является стороной треугольника $ABC$.

Ответ: Искомый вектор — это $\vec{AC}$.

3) $\vec{BC}$

Вектор, противоположный вектору $\vec{BC}$, есть вектор $-\vec{BC}$. По определению, $-\vec{BC} = \vec{CB}$. Нам нужно отложить от точки $A$ вектор, равный вектору $\vec{CB}$. Пусть искомый вектор будет $\vec{AF}$. Тогда должно выполняться равенство $\vec{AF} = \vec{CB}$. Равенство векторов $\vec{AF} = \vec{CB}$ означает, что они сонаправлены (и, следовательно, их несущие прямые параллельны) и равны по длине. Геометрически это условие означает, что четырехугольник $ACBF$ является параллелограммом (по признаку параллелограмма: если в четырехугольнике две противоположные стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник — параллелограмм). Для построения точки $F$ нужно через точку $A$ провести прямую, параллельную стороне $BC$, и через точку $B$ провести прямую, параллельную стороне $AC$. Точка пересечения этих двух прямых и будет искомой точкой $F$.

Ответ: Искомый вектор — это $\vec{AF}$, где $F$ — такая точка, что четырехугольник $ACBF$ является параллелограммом.