Номер 472, страница 119 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

472. Начертите параллелограмм ABCD. Постройте векторы $ \overline{BA} - \overline{BC}$, $ \overline{BA} - \overline{DA}$, $ \overline{BA} - \overline{AD}$, $ \overline{AC} - \overline{DB}$.

Сначала начертим произвольный параллелограмм $ABCD$. Для построения искомых векторов будем использовать свойства векторов в параллелограмме и правила сложения/вычитания векторов.

Построение вектора $\vec{BA} - \vec{BC}$
Разность векторов, выходящих из одной точки (в данном случае из точки $B$), равна вектору, соединяющему конец вычитаемого вектора (точка $C$) с концом уменьшаемого вектора (точка $A$).
Следовательно, $\vec{BA} - \vec{BC} = \vec{CA}$.
Этот вектор является диагональю параллелограмма, направленной из точки $C$ в точку $A$.
Ответ: $\vec{CA}$.

Построение вектора $\vec{BA} - \vec{DA}$
В параллелограмме $ABCD$ противоположные стороны параллельны и равны, поэтому $\vec{DA} = \vec{CB}$.
Заменим в выражении вектор $\vec{DA}$ на равный ему вектор $\vec{CB}$:
$\vec{BA} - \vec{DA} = \vec{BA} - \vec{CB}$.
Вычитание вектора равносильно прибавлению противоположного ему вектора: $\vec{BA} - \vec{CB} = \vec{BA} + (-\vec{CB}) = \vec{BA} + \vec{BC}$.
Сумма векторов $\vec{BA}$ и $\vec{BC}$, отложенных из одной точки $B$, по правилу параллелограмма равна вектору диагонали, исходящей из этой же точки. В параллелограмме $ABCD$ это диагональ $BD$.
Таким образом, $\vec{BA} + \vec{BC} = \vec{BD}$.
Ответ: $\vec{BD}$.

Построение вектора $\vec{BA} - \vec{AD}$
В параллелограмме $ABCD$ противоположные стороны равны и параллельны, поэтому $\vec{AD} = \vec{BC}$.
Подставим в исходное выражение: $\vec{BA} - \vec{AD} = \vec{BA} - \vec{BC}$.
Как было показано в первом пункте, эта разность равна вектору $\vec{CA}$.
$\vec{BA} - \vec{BC} = \vec{CA}$.
Ответ: $\vec{CA}$.

Построение вектора $\vec{AC} - \vec{DB}$
Выразим векторы диагоналей $\vec{AC}$ и $\vec{DB}$ через векторы смежных сторон, например, $\vec{AB}$ и $\vec{AD}$.
По правилу сложения векторов (правило треугольника):
$\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{BC}$. Так как $\vec{BC} = \vec{AD}$, то $\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{AD}$.
$\vec{DB} = \vec{DA} + \vec{AB} = -\vec{AD} + \vec{AB}$.
Теперь найдем их разность:
$\vec{AC} - \vec{DB} = (\vec{AB} + \vec{AD}) - (-\vec{AD} + \vec{AB}) = \vec{AB} + \vec{AD} + \vec{AD} - \vec{AB} = 2\vec{AD}$.
Искомый вектор — это вектор $2\vec{AD}$. Для его построения нужно отложить от любой точки (например, от $A$) вектор, который сонаправлен вектору $\vec{AD}$ и имеет длину, в два раза большую длины стороны $AD$.
Ответ: $2\vec{AD}$.