Номер 479, страница 120 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

479. Начертите треугольник ABC. Постройте такую точку X, чтобы:

1) $\overrightarrow{AX} = \overrightarrow{BX} + \overrightarrow{XC}$;

2) $\overrightarrow{BX} = \overrightarrow{XC} - \overrightarrow{XA}$.

1)

Рассмотрим векторное равенство $\vec{AX} = \vec{BX} + \vec{XC}$.

Правая часть равенства представляет собой сумму векторов, где конец первого вектора ($\vec{BX}$) совпадает с началом второго ($\vec{XC}$). По правилу треугольника (или правилу Шаля) для сложения векторов, такая сумма равна вектору, соединяющему начало первого и конец второго вектора:
$\vec{BX} + \vec{XC} = \vec{BC}$

Таким образом, исходное равенство упрощается до вида:
$\vec{AX} = \vec{BC}$

Это равенство означает, что векторы $\vec{AX}$ и $\vec{BC}$ равны. Два вектора равны, если они сонаправлены и их длины равны. Геометрически это означает, что отрезки AX и BC параллельны и равны. Следовательно, четырёхугольник ABCX является параллелограммом (по признаку параллелограмма, если две противоположные стороны равны и параллельны).

Построение точки X:
1. Начертим произвольный треугольник ABC.
2. Чтобы построить точку X, воспользуемся свойством диагоналей параллелограмма ABCX. Диагоналями являются отрезки AC и BX, и они должны пересекаться в их общей середине.
3. Находим середину отрезка AC. Обозначим эту точку O.
4. Точка O также является серединой диагонали BX.
5. Проводим луч BO и на его продолжении за точку O откладываем отрезок OX, равный по длине отрезку BO.
6. Полученная точка X является искомой.

Ответ: Точка X — это такая точка, что четырёхугольник ABCX является параллелограммом.

2)

Рассмотрим векторное равенство $\vec{BX} = \vec{XC} - \vec{XA}$.

Для нахождения положения точки X, выразим все векторы в равенстве через векторы, отложенные от вершины A треугольника. Используем правило разности векторов: $\vec{PQ} = \vec{AQ} - \vec{AP}$.
$\vec{BX} = \vec{AX} - \vec{AB}$
$\vec{XC} = \vec{AC} - \vec{AX}$
Также учтем, что $\vec{XA} = -\vec{AX}$.

Подставим эти выражения в исходное равенство:
$\vec{AX} - \vec{AB} = (\vec{AC} - \vec{AX}) - (-\vec{AX})$
$\vec{AX} - \vec{AB} = \vec{AC} - \vec{AX} + \vec{AX}$
$\vec{AX} - \vec{AB} = \vec{AC}$

Теперь выразим $\vec{AX}$:
$\vec{AX} = \vec{AB} + \vec{AC}$

Полученное равенство является определением сложения векторов по правилу параллелограмма. Оно означает, что вектор $\vec{AX}$ является диагональю параллелограмма, построенного на векторах $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$, выходящих из одной точки A. Следовательно, искомая точка X — это четвертая вершина параллелограмма ABXC.

Построение точки X:
1. Начертим произвольный треугольник ABC.
2. Чтобы построить точку X, можно воспользоваться свойством диагоналей параллелограмма ABXC, которые пересекаются в середине. Диагоналями являются отрезки AX и BC.
3. Находим середину отрезка BC. Обозначим эту точку M.
4. Точка M также является серединой диагонали AX.
5. Проводим луч AM и на его продолжении за точку M откладываем отрезок MX, равный по длине отрезку AM.
6. Полученная точка X является искомой.

Ответ: Точка X — это такая точка, что четырёхугольник ABXC является параллелограммом.