Страница 120 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

475. Для векторов $\vec{a}$, $\vec{b}$ и $\vec{c}$, изображённых на рисунке 119, постройте вектор:

1) $\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}$;

2) $\vec{a}+\vec{b}-\vec{c}$;

3) $-\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}$.

Рис. 119

а

б

в

Для решения задачи воспользуемся координатным и геометрическим (правило многоугольника) методами. Сначала определим координаты векторов $\vec{a}$, $\vec{b}$ и $\vec{c}$, используя рисунок 119, в, где все векторы отложены от одной точки. За единицу длины примем сторону одной клетки.

• Вектор $\vec{a}$ смещает точку на 2 клетки вправо и 2 клетки вверх, следовательно, его координаты $\vec{a}=(2, 2)$.
• Вектор $\vec{b}$ смещает точку на 4 клетки вправо и 1 клетку вверх, следовательно, его координаты $\vec{b}=(4, 1)$.
• Вектор $\vec{c}$ смещает точку на 1 клетку вправо и 2 клетки вниз, следовательно, его координаты $\vec{c}=(1, -2)$.

Чтобы построить вектор-сумму, нужно последовательно отложить векторы друг за другом по правилу многоугольника: начало следующего вектора совмещается с концом предыдущего. Результирующий вектор соединяет начало первого вектора с концом последнего.

1. Выбираем произвольную начальную точку O.
2. Откладываем от нее вектор $\vec{a}=(2, 2)$, получаем точку A.
3. От точки A откладываем вектор $\vec{b}=(4, 1)$, получаем точку B.
4. От точки B откладываем вектор $\vec{c}=(1, -2)$, получаем точку C.
5. Вектор $\vec{OC}$ является искомой суммой.

Вычислим координаты результирующего вектора путем сложения координат исходных векторов:
$\vec{a}+\vec{b}+\vec{c} = (2, 2) + (4, 1) + (1, -2) = (2+4+1, 2+1-2) = (7, 1)$.
Таким образом, результирующий вектор идет на 7 клеток вправо и на 1 клетку вверх.
Ответ: Результирующий вектор, построенный по правилу многоугольника, имеет координаты $(7, 1)$.

Вычитание вектора $\vec{c}$ равносильно прибавлению противоположного ему вектора $-\vec{c}$. Вектор $-\vec{c}$ имеет ту же длину, что и $\vec{c}$, но направлен в противоположную сторону. Его координаты равны координатам вектора $\vec{c}$, взятым с противоположным знаком: $-\vec{c} = -(1, -2) = (-1, 2)$.

Построение выполняется аналогично предыдущему пункту:

1. Выбираем произвольную начальную точку O.
2. Откладываем от нее вектор $\vec{a}=(2, 2)$, получаем точку A.
3. От точки A откладываем вектор $\vec{b}=(4, 1)$, получаем точку B.
4. От точки B откладываем вектор $-\vec{c}=(-1, 2)$, получаем точку D.
5. Вектор $\vec{OD}$ является искомым вектором.

Координаты результирующего вектора:
$\vec{a}+\vec{b}-\vec{c} = (2, 2) + (4, 1) - (1, -2) = (2+4-1, 2+1-(-2)) = (5, 5)$.
Результирующий вектор идет на 5 клеток вправо и на 5 клеток вверх.
Ответ: Результирующий вектор, построенный по правилу многоугольника, имеет координаты $(5, 5)$.

Аналогично предыдущему пункту, сначала находим вектор $-\vec{a}$, противоположный вектору $\vec{a}$. Если $\vec{a}=(2, 2)$, то $-\vec{a}=(-2, -2)$. Далее выполняем сложение векторов $-\vec{a}$, $\vec{b}$ и $\vec{c}$.

Построение по правилу многоугольника:

1. Выбираем произвольную начальную точку O.
2. Откладываем от нее вектор $-\vec{a}=(-2, -2)$, получаем точку E.
3. От точки E откладываем вектор $\vec{b}=(4, 1)$, получаем точку F.
4. От точки F откладываем вектор $\vec{c}=(1, -2)$, получаем точку G.
5. Вектор $\vec{OG}$ является искомым вектором.

Координаты результирующего вектора:
$-\vec{a}+\vec{b}+\vec{c} = -(2, 2) + (4, 1) + (1, -2) = (-2+4+1, -2+1-2) = (3, -3)$.
Результирующий вектор идет на 3 клетки вправо и на 3 клетки вниз.
Ответ: Результирующий вектор, построенный по правилу многоугольника, имеет координаты $(3, -3)$.

476. Отложите от одной точки три вектора, модули которых равны, так, чтобы сумма двух из них была равна третьему вектору.

Пусть нам нужно отложить от одной точки O три вектора $\vec{a}$, $\vec{b}$ и $\vec{c}$.

Согласно условию задачи, их модули (длины) должны быть равны. Обозначим эту равную длину как $L$:

$|\vec{a}| = |\vec{b}| = |\vec{c}| = L$, где $L$ — некоторое положительное число.

Также, по условию, сумма двух векторов должна быть равна третьему. Без ограничения общности, пусть это будут векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$, сумма которых равна вектору $\vec{c}$:

$\vec{a} + \vec{b} = \vec{c}$

Теперь воспользуемся свойством модуля суммы векторов. Квадрат модуля суммы двух векторов можно выразить через их скалярное произведение:

$|\vec{a} + \vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b})$

Скалярное произведение векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ определяется как $|\vec{a}||\vec{b}|\cos\alpha$, где $\alpha$ — угол между этими векторами. Подставим это выражение в формулу:

$|\vec{a} + \vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + 2|\vec{a}||\vec{b}|\cos\alpha$

Теперь подставим в это уравнение условия нашей задачи: $|\vec{a} + \vec{b}| = |\vec{c}| = L$, а также $|\vec{a}| = L$ и $|\vec{b}| = L$.

$L^2 = L^2 + L^2 + 2 \cdot L \cdot L \cdot \cos\alpha$

$L^2 = 2L^2 + 2L^2\cos\alpha$

Поскольку длина векторов $L$ не равна нулю, мы можем разделить обе части уравнения на $L^2$:

$1 = 2 + 2\cos\alpha$

Отсюда выразим $\cos\alpha$:

$2\cos\alpha = 1 - 2 = -1$

$\cos\alpha = -1/2$

Угол $\alpha$, косинус которого равен -1/2, составляет $120^{\circ}$.

Таким образом, для выполнения условий задачи необходимо, чтобы угол между двумя векторами ($\vec{a}$ и $\vec{b}$) был равен $120^{\circ}$. Их сумма, вектор $\vec{c}$, будет иметь ту же длину $L$.

Геометрически это можно построить следующим образом:

1. Выберите произвольную точку O — начало всех векторов.
2. Отложите от точки O два вектора, $\vec{a}$ и $\vec{b}$, одинаковой длины $L$ так, чтобы угол между ними составлял $120^{\circ}$.
3. Для нахождения суммы $\vec{c} = \vec{a} + \vec{b}$ воспользуйтесь правилом параллелограмма. Постройте на векторах $\vec{a}$ и $\vec{b}$ как на сторонах параллелограмм. Так как стороны равны, это будет ромб.
4. Диагональ этого ромба, исходящая из точки O, и будет искомым третьим вектором $\vec{c}$. Длина этой диагонали будет равна $L$.

В получившейся конфигурации диагональ ромба $\vec{c}$ является биссектрисой угла между сторонами $\vec{a}$ и $\vec{b}$. Следовательно, угол между вектором $\vec{c}$ и вектором $\vec{a}$ будет равен $120^{\circ}/2 = 60^{\circ}$, и угол между $\vec{c}$ и $\vec{b}$ также будет равен $60^{\circ}$.

Ответ: Необходимо отложить от одной точки два вектора одинаковой длины под углом $120^{\circ}$ друг к другу. Третьим вектором будет их векторная сумма, построенная по правилу параллелограмма. Этот третий вектор будет иметь ту же длину, что и первые два, и будет направлен так, что образует с каждым из них угол в $60^{\circ}$.

477. Отложите от одной точки три вектора, модули которых равны, так, чтобы их сумма была равна нуль-вектору.

Пусть из точки $O$ отложены три вектора $\vec{a}$, $\vec{b}$ и $\vec{c}$. По условию задачи, их модули (длины) равны. Обозначим эту длину как $L$:

$|\vec{a}| = |\vec{b}| = |\vec{c}| = L$, где $L > 0$.

Также по условию, сумма этих векторов равна нуль-вектору:

$\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} = \vec{0}$.

Из этого равенства можно выразить один вектор через два других. Например, выразим вектор $\vec{c}$:

$\vec{c} = -(\vec{a} + \vec{b})$.

Это означает, что вектор $\vec{c}$ является противоположным вектору суммы $\vec{a} + \vec{b}$. Следовательно, их модули равны:

$|\vec{c}| = |-(\vec{a} + \vec{b})| = |\vec{a} + \vec{b}|$.

Так как $|\vec{c}| = L$, то и $|\vec{a} + \vec{b}| = L$.

Теперь найдем модуль суммы векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$. Векторы отложены от одной точки. Пусть угол между ними равен $\alpha$. По правилу параллелограмма, модуль суммы векторов можно найти по теореме косинусов:

$|\vec{a} + \vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + 2|\vec{a}||\vec{b}|\cos\alpha$.

Подставим известные значения в это уравнение:

$L^2 = L^2 + L^2 + 2 \cdot L \cdot L \cdot \cos\alpha$

$L^2 = 2L^2 + 2L^2\cos\alpha$

Поскольку $L \neq 0$, мы можем разделить обе части уравнения на $L^2$:

$1 = 2 + 2\cos\alpha$

$2\cos\alpha = 1 - 2$

$2\cos\alpha = -1$

$\cos\alpha = -\frac{1}{2}$

Отсюда следует, что угол $\alpha = 120^\circ$.

Проведя аналогичные рассуждения для пар векторов $(\vec{a}, \vec{c})$ и $(\vec{b}, \vec{c})$, мы получим, что угол между каждой парой векторов также равен $120^\circ$.

Таким образом, три вектора должны лежать в одной плоскости (так как сумма углов вокруг общей точки их начал составляет $120^\circ + 120^\circ + 120^\circ = 360^\circ$) и быть направлены под углом $120^\circ$ друг к другу.

Ответ: Чтобы сумма трех векторов равного модуля, отложенных от одной точки, была равна нуль-вектору, необходимо, чтобы эти векторы лежали в одной плоскости, а угол между любыми двумя из них составлял $120^\circ$.

478. Для точек A, B, C, D, изображённых на рисунке 120, постройте такой вектор $\vec{x}$, чтобы $\vec{AB} + \vec{CB} + \vec{CD} + \vec{x} = \vec{0}$.

Рис. 120

Для нахождения вектора $\vec{x}$ выразим его из данного в условии уравнения:

$\vec{AB} + \vec{CB} + \vec{CD} + \vec{x} = \vec{0}$

Перенесем сумму известных векторов в правую часть уравнения:

$\vec{x} = -(\vec{AB} + \vec{CB} + \vec{CD})$

$\vec{x} = -\vec{AB} - \vec{CB} - \vec{CD}$

Используя свойство противоположного вектора, согласно которому $-\vec{PQ} = \vec{QP}$, заменим каждый вектор в правой части на противоположный ему:

$\vec{x} = \vec{BA} + \vec{BC} + \vec{DC}$

Теперь задача сводится к геометрическому построению суммы трех векторов: $\vec{BA}$, $\vec{BC}$ и $\vec{DC}$. Сложение будем выполнять последовательно, используя правило параллелограмма и правило треугольника.

Построение выглядит следующим образом:

1. Сначала сложим два вектора, выходящие из одной точки B: $\vec{BA}$ и $\vec{BC}$. По правилу параллелограмма, их сумма равна вектору, который является диагональю параллелограмма, построенного на этих векторах. Построим точку E так, чтобы четырехугольник ABCE был параллелограммом. Тогда суммой векторов будет вектор $\vec{BE} = \vec{BA} + \vec{BC}$.
2. Теперь к полученному вектору $\vec{BE}$ необходимо прибавить оставшийся вектор $\vec{DC}$. Таким образом, искомый вектор $\vec{x} = \vec{BE} + \vec{DC}$.
3. Для сложения векторов $\vec{BE}$ и $\vec{DC}$ используем правило треугольника (последовательного откладывания векторов). Для этого от конца первого вектора (точки E) отложим вектор $\vec{EF}$, равный вектору $\vec{DC}$. Вектор $\vec{EF}$ должен быть сонаправлен вектору $\vec{DC}$ и иметь ту же длину ($|\vec{EF}| = |\vec{DC}|$).
4. Суммой векторов $\vec{BE}$ и $\vec{EF}$ будет вектор, соединяющий начало первого вектора (точка B) и конец второго вектора (точка F).

Следовательно, искомый вектор $\vec{x}$ — это вектор $\vec{BF}$.

Ответ: Искомый вектор $\vec{x}$ — это вектор $\vec{BF}$, полученный в результате описанного выше построения, где точка E является вершиной параллелограмма ABCE, а вектор $\vec{EF}$ равен вектору $\vec{DC}$. Алгебраически $\vec{x} = \vec{BA} + \vec{BC} + \vec{DC}$.

479. Начертите треугольник ABC. Постройте такую точку X, чтобы:

1) $\overrightarrow{AX} = \overrightarrow{BX} + \overrightarrow{XC}$;

2) $\overrightarrow{BX} = \overrightarrow{XC} - \overrightarrow{XA}$.

1)

Рассмотрим векторное равенство $\vec{AX} = \vec{BX} + \vec{XC}$.

Правая часть равенства представляет собой сумму векторов, где конец первого вектора ($\vec{BX}$) совпадает с началом второго ($\vec{XC}$). По правилу треугольника (или правилу Шаля) для сложения векторов, такая сумма равна вектору, соединяющему начало первого и конец второго вектора:
$\vec{BX} + \vec{XC} = \vec{BC}$

Таким образом, исходное равенство упрощается до вида:
$\vec{AX} = \vec{BC}$

Это равенство означает, что векторы $\vec{AX}$ и $\vec{BC}$ равны. Два вектора равны, если они сонаправлены и их длины равны. Геометрически это означает, что отрезки AX и BC параллельны и равны. Следовательно, четырёхугольник ABCX является параллелограммом (по признаку параллелограмма, если две противоположные стороны равны и параллельны).

Построение точки X:
1. Начертим произвольный треугольник ABC.
2. Чтобы построить точку X, воспользуемся свойством диагоналей параллелограмма ABCX. Диагоналями являются отрезки AC и BX, и они должны пересекаться в их общей середине.
3. Находим середину отрезка AC. Обозначим эту точку O.
4. Точка O также является серединой диагонали BX.
5. Проводим луч BO и на его продолжении за точку O откладываем отрезок OX, равный по длине отрезку BO.
6. Полученная точка X является искомой.

Ответ: Точка X — это такая точка, что четырёхугольник ABCX является параллелограммом.

2)

Рассмотрим векторное равенство $\vec{BX} = \vec{XC} - \vec{XA}$.

Для нахождения положения точки X, выразим все векторы в равенстве через векторы, отложенные от вершины A треугольника. Используем правило разности векторов: $\vec{PQ} = \vec{AQ} - \vec{AP}$.
$\vec{BX} = \vec{AX} - \vec{AB}$
$\vec{XC} = \vec{AC} - \vec{AX}$
Также учтем, что $\vec{XA} = -\vec{AX}$.

Подставим эти выражения в исходное равенство:
$\vec{AX} - \vec{AB} = (\vec{AC} - \vec{AX}) - (-\vec{AX})$
$\vec{AX} - \vec{AB} = \vec{AC} - \vec{AX} + \vec{AX}$
$\vec{AX} - \vec{AB} = \vec{AC}$

Теперь выразим $\vec{AX}$:
$\vec{AX} = \vec{AB} + \vec{AC}$

Полученное равенство является определением сложения векторов по правилу параллелограмма. Оно означает, что вектор $\vec{AX}$ является диагональю параллелограмма, построенного на векторах $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$, выходящих из одной точки A. Следовательно, искомая точка X — это четвертая вершина параллелограмма ABXC.

Построение точки X:
1. Начертим произвольный треугольник ABC.
2. Чтобы построить точку X, можно воспользоваться свойством диагоналей параллелограмма ABXC, которые пересекаются в середине. Диагоналями являются отрезки AX и BC.
3. Находим середину отрезка BC. Обозначим эту точку M.
4. Точка M также является серединой диагонали AX.
5. Проводим луч AM и на его продолжении за точку M откладываем отрезок MX, равный по длине отрезку AM.
6. Полученная точка X является искомой.

Ответ: Точка X — это такая точка, что четырёхугольник ABXC является параллелограммом.

480. Дан треугольник ABC. Выразите вектор $\vec{BC}$ через векторы:

1) $\vec{CA}$ и $\vec{AB}$;

2) $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$.

Для решения этой задачи мы будем использовать правило сложения векторов (также известное как правило треугольника или правило Шаля). Для любых трех точек $A$, $B$ и $C$ в пространстве справедливо векторное равенство: $ \vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC} $. Это означает, что перемещение из точки $A$ в точку $B$, а затем из $B$ в $C$ эквивалентно перемещению напрямую из $A$ в $C$.

1) $\vec{CA}$ и $\vec{AB}$;
Мы можем составить путь из точки $C$ в точку $B$, пройдя через точку $A$. По правилу сложения векторов, это записывается как: $ \vec{CA} + \vec{AB} = \vec{CB} $ Нам необходимо найти вектор $ \vec{BC} $, который является противоположным вектору $ \vec{CB} $. Это означает, что их направления противоположны, а длины равны. Математически это записывается как: $ \vec{BC} = -\vec{CB} $ Теперь подставим в это равенство полученное ранее выражение для $ \vec{CB} $: $ \vec{BC} = -(\vec{CA} + \vec{AB}) $ Раскрыв скобки, получаем итоговый результат: $ \vec{BC} = -\vec{CA} - \vec{AB} $
Ответ: $ \vec{BC} = -\vec{CA} - \vec{AB} $

2) $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$.
Воспользуемся основным правилом сложения векторов для треугольника $ABC$: $ \vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC} $ Наша цель — выразить вектор $ \vec{BC} $. Для этого изолируем его в левой части уравнения, перенеся вектор $ \vec{AB} $ в правую часть. При переносе через знак равенства знак вектора меняется на противоположный: $ \vec{BC} = \vec{AC} - \vec{AB} $ Это выражение является правилом вычитания векторов. Оно гласит, что вектор разности двух векторов, выходящих из одной точки, — это вектор, соединяющий их концы и направленный в сторону вектора-уменьшаемого.
Ответ: $ \vec{BC} = \vec{AC} - \vec{AB} $

481. Дан параллелограмм $ABCD$. Выразите векторы $\vec{AB}$, $\vec{BC}$, $\vec{DA}$ через векторы $\vec{CA} = \vec{a}$, $\vec{CD} = \vec{c}$.

Поскольку $ABCD$ — это параллелограмм, его противоположные стороны параллельны и равны по длине. В векторной форме это означает, что $\vec{AB} = \vec{DC}$ и $\vec{BC} = \vec{AD}$. Нам даны векторы $\vec{CA} = \vec{a}$ и $\vec{CD} = \vec{c}$.

$\vec{AB}$

Вектор $\vec{AB}$ равен вектору $\vec{DC}$, так как это векторы, представляющие противоположные стороны параллелограмма, направленные в одну сторону. Вектор $\vec{DC}$ является противоположным вектору $\vec{CD}$, то есть $\vec{DC} = -\vec{CD}$. Так как по условию $\vec{CD} = \vec{c}$, получаем $\vec{DC} = -\vec{c}$. Следовательно, $\vec{AB} = -\vec{c}$.

Ответ: $\vec{AB} = -\vec{c}$

$\vec{BC}$

Для нахождения вектора $\vec{BC}$ воспользуемся правилом треугольника для векторов в треугольнике $ABC$: $\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}$. Отсюда следует, что $\vec{BC} = \vec{AC} - \vec{AB}$. Из предыдущего пункта мы знаем, что $\vec{AB} = -\vec{c}$. Вектор $\vec{AC}$ противоположен данному вектору $\vec{CA} = \vec{a}$, поэтому $\vec{AC} = -\vec{CA} = -\vec{a}$. Подставив эти значения, получим: $\vec{BC} = (-\vec{a}) - (-\vec{c}) = -\vec{a} + \vec{c} = \vec{c} - \vec{a}$.

Ответ: $\vec{BC} = \vec{c} - \vec{a}$

$\vec{DA}$

Для нахождения вектора $\vec{DA}$ применим правило треугольника к треугольнику $CDA$: $\vec{CD} + \vec{DA} = \vec{CA}$. Выразим искомый вектор: $\vec{DA} = \vec{CA} - \vec{CD}$. Теперь подставим данные из условия задачи, $\vec{CA} = \vec{a}$ и $\vec{CD} = \vec{c}$. Таким образом, получаем, что $\vec{DA} = \vec{a} - \vec{c}$.

Ответ: $\vec{DA} = \vec{a} - \vec{c}$

482. Дан параллелограмм $ABCD$. Выразите векторы $\vec{AC}$, $\vec{BD}$, $\vec{BC}$ через векторы $\vec{BA} = \vec{a}$, $\vec{DA} = \vec{b}$.

$\vec{AC}$

Для нахождения вектора диагонали $\vec{AC}$ воспользуемся правилом сложения векторов для треугольника ABC (правило треугольника): $\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{BC}$.

Сначала выразим векторы $\vec{AB}$ и $\vec{BC}$ через данные векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$.

1. Вектор $\vec{AB}$ противоположен вектору $\vec{BA}$. По условию $\vec{BA} = \vec{a}$, следовательно, $\vec{AB} = -\vec{BA} = -\vec{a}$.

2. В параллелограмме ABCD противолежащие стороны равны и параллельны, поэтому векторы, соответствующие этим сторонам и имеющие одинаковое направление, равны. Таким образом, $\vec{BC} = \vec{AD}$.

Вектор $\vec{AD}$ противоположен вектору $\vec{DA}$. По условию $\vec{DA} = \vec{b}$, значит, $\vec{AD} = -\vec{DA} = -\vec{b}$.

Следовательно, $\vec{BC} = -\vec{b}$.

3. Теперь подставим найденные выражения для векторов $\vec{AB}$ и $\vec{BC}$ в исходное равенство:

$\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{BC} = (-\vec{a}) + (-\vec{b}) = -\vec{a} - \vec{b} = -(\vec{a} + \vec{b})$.

Ответ: $\vec{AC} = -(\vec{a} + \vec{b})$.

$\vec{BD}$

Для нахождения вектора диагонали $\vec{BD}$ воспользуемся правилом сложения векторов для треугольника ABD (правило треугольника): $\vec{BD} = \vec{BA} + \vec{AD}$.

1. Вектор $\vec{BA}$ дан по условию: $\vec{BA} = \vec{a}$.

2. Вектор $\vec{AD}$ противоположен вектору $\vec{DA}$. По условию $\vec{DA} = \vec{b}$, следовательно, $\vec{AD} = -\vec{DA} = -\vec{b}$.

3. Подставим выражения для векторов $\vec{BA}$ и $\vec{AD}$ в формулу:

$\vec{BD} = \vec{BA} + \vec{AD} = \vec{a} + (-\vec{b}) = \vec{a} - \vec{b}$.

Ответ: $\vec{BD} = \vec{a} - \vec{b}$.

$\vec{BC}$

В параллелограмме ABCD противолежащие стороны BC и AD параллельны и равны по длине. Это означает, что векторы $\vec{BC}$ и $\vec{AD}$ равны.

$\vec{BC} = \vec{AD}$.

По условию задачи нам дан вектор $\vec{DA} = \vec{b}$. Вектор $\vec{AD}$ является противоположным ему по направлению.

Следовательно, $\vec{AD} = -\vec{DA} = -\vec{b}$.

Таким образом, мы можем выразить вектор $\vec{BC}$:

$\vec{BC} = -\vec{b}$.

Ответ: $\vec{BC} = -\vec{b}$.

483. Дан параллелограмм ABCD. Выразите векторы $\overrightarrow{BC}$, $\overrightarrow{DC}$, $\overrightarrow{DA}$ через векторы $\overrightarrow{AB} = \vec{a}$, $\overrightarrow{BD} = \vec{b}$.

Дан параллелограмм $ABCD$. Нам известны векторы $\vec{AB} = \vec{a}$ и $\vec{BD} = \vec{b}$. Наша задача — выразить векторы $\vec{BC}$, $\vec{DC}$ и $\vec{DA}$ через $\vec{a}$ и $\vec{b}$.

$\vec{DC}$

В параллелограмме $ABCD$ противоположные стороны $AB$ и $DC$ параллельны и равны. Векторы, лежащие на этих сторонах и имеющие одинаковое направление (от $A$ к $B$ и от $D$ к $C$), равны. Следовательно, $\vec{DC} = \vec{AB}$. Поскольку по условию $\vec{AB} = \vec{a}$, то $\vec{DC} = \vec{a}$.

Ответ: $\vec{DC} = \vec{a}$.

$\vec{DA}$

Рассмотрим векторы, образующие треугольник $ABD$: $\vec{AB}$, $\vec{BD}$ и $\vec{DA}$. По правилу замыкания (или правилу треугольника) сумма этих векторов равна нулевому вектору: $\vec{AB} + \vec{BD} + \vec{DA} = \vec{0}$. Выразим отсюда искомый вектор $\vec{DA}$: $\vec{DA} = -(\vec{AB} + \vec{BD})$. Подставим известные значения $\vec{AB} = \vec{a}$ и $\vec{BD} = \vec{b}$: $\vec{DA} = -(\vec{a} + \vec{b}) = -\vec{a} - \vec{b}$.

Ответ: $\vec{DA} = -\vec{a} - \vec{b}$.

$\vec{BC}$

В параллелограмме $ABCD$ противоположные стороны $BC$ и $AD$ также параллельны и равны. Следовательно, соответствующие им векторы равны: $\vec{BC} = \vec{AD}$. Вектор $\vec{AD}$ является противоположным вектору $\vec{DA}$, который мы уже нашли: $\vec{AD} = -\vec{DA}$. Используя результат для $\vec{DA}$, получаем: $\vec{AD} = -(-\vec{a} - \vec{b}) = \vec{a} + \vec{b}$. Таким образом, $\vec{BC} = \vec{a} + \vec{b}$.

Ответ: $\vec{BC} = \vec{a} + \vec{b}$.