Страница 123 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

512. Диагонали четырёхугольника ABCD пересекаются в точке O. Известно, что $ \vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC} + \vec{OD} = \vec{0} $. Докажите, что ABCD – параллелограмм.

По условию задачи, для векторов, исходящих из точки пересечения диагоналей O к вершинам четырехугольника ABCD, выполняется равенство:

$\vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC} + \vec{OD} = \vec{0}$

Сгруппируем слагаемые в этом равенстве:

$(\vec{OA} + \vec{OC}) + (\vec{OB} + \vec{OD}) = \vec{0}$

Рассмотрим сумму векторов $\vec{OA} + \vec{OC}$. Точки A, O и C лежат на одной прямой (диагонали AC). Это означает, что векторы $\vec{OA}$ и $\vec{OC}$ коллинеарны. Их сумма, вектор $\vec{u} = \vec{OA} + \vec{OC}$, также будет лежать на прямой AC.

Аналогично, рассмотрим сумму векторов $\vec{OB} + \vec{OD}$. Точки B, O и D лежат на одной прямой (диагонали BD). Векторы $\vec{OB}$ и $\vec{OD}$ коллинеарны, и их сумма, вектор $\vec{v} = \vec{OB} + \vec{OD}$, будет лежать на прямой BD.

Таким образом, исходное равенство можно записать как $\vec{u} + \vec{v} = \vec{0}$, откуда следует, что $\vec{u} = -\vec{v}$.

Вектор $\vec{u}$ лежит на прямой AC, а вектор $\vec{v}$ — на прямой BD. Так как диагонали четырехугольника AC и BD пересекаются (а не совпадают), то равенство $\vec{u} = -\vec{v}$ возможно только в том случае, если оба вектора являются нулевыми:

$\vec{u} = \vec{0}$ и $\vec{v} = \vec{0}$

Рассмотрим каждое из этих равенств:

1) $\vec{OA} + \vec{OC} = \vec{0}$, что равносильно $\vec{OA} = -\vec{OC}$. Это равенство векторов означает, что они имеют одинаковые длины (модули), то есть $|\vec{OA}| = |\vec{OC}|$, и направлены в противоположные стороны. Поскольку они исходят из одной точки O и лежат на одной прямой, точка O является серединой отрезка AC.

2) $\vec{OB} + \vec{OD} = \vec{0}$, что равносильно $\vec{OB} = -\vec{OD}$. Аналогично, это означает, что $|\vec{OB}| = |\vec{OD}|$, и векторы противоположно направлены. Следовательно, точка O является серединой отрезка BD.

Мы получили, что диагонали четырехугольника ABCD пересекаются в точке O, которая является серединой каждой из них. По признаку параллелограмма, если диагонали четырехугольника пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник — параллелограмм.

Следовательно, ABCD — параллелограмм.

Ответ: Что и требовалось доказать.

513. Векторы $\vec{MN}$, $\vec{PQ}$ и $\vec{EF}$ попарно неколлинеарны, причём $\vec{MN} + \vec{PQ} + \vec{EF} = \vec{0}$. Докажите, что существует треугольник, стороны которого равны отрезкам MN, PQ и EF.

По условию задачи даны три попарно неколлинеарных вектора $\overrightarrow{MN}$, $\overrightarrow{PQ}$ и $\overrightarrow{EF}$, для которых выполняется равенство:$\overrightarrow{MN} + \overrightarrow{PQ} + \overrightarrow{EF} = \vec{0}$.

Чтобы доказать, что существует треугольник со сторонами, равными длинам этих векторов (то есть отрезкам $MN$, $PQ$ и $EF$), воспользуемся правилом сложения векторов для построения замкнутой векторной фигуры.

Выберем на плоскости произвольную точку $A$ и отложим от нее последовательно векторы, равные данным:1. От точки $A$ отложим вектор $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{MN}$.2. От точки $B$ отложим вектор $\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{PQ}$.

Теперь рассмотрим сумму этих векторов. По правилу треугольника, $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}$.Таким образом, $\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{MN} + \overrightarrow{PQ}$.

Из данного в условии равенства $\overrightarrow{MN} + \overrightarrow{PQ} + \overrightarrow{EF} = \vec{0}$ можно выразить сумму первых двух векторов:$\overrightarrow{MN} + \overrightarrow{PQ} = -\overrightarrow{EF}$.

Сравнивая два полученных выражения для суммы $\overrightarrow{MN} + \overrightarrow{PQ}$, получаем:$\overrightarrow{AC} = -\overrightarrow{EF}$.Это означает, что вектор $\overrightarrow{CA}$ (который противоположен вектору $\overrightarrow{AC}$) равен вектору $\overrightarrow{EF}$:$\overrightarrow{CA} = -\overrightarrow{AC} = -(-\overrightarrow{EF}) = \overrightarrow{EF}$.

Таким образом, построив векторы $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{MN}$ и $\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{PQ}$, мы обнаружили, что вектор, замыкающий треугольник $ABC$, а именно $\overrightarrow{CA}$, равен третьему данному вектору $\overrightarrow{EF}$.

Рассмотрим длины сторон полученного треугольника $ABC$:

• Длина стороны $AB$ равна модулю вектора $\overrightarrow{AB}$: $|AB| = |\overrightarrow{AB}| = |\overrightarrow{MN}|$.
• Длина стороны $BC$ равна модулю вектора $\overrightarrow{BC}$: $|BC| = |\overrightarrow{BC}| = |\overrightarrow{PQ}|$.
• Длина стороны $CA$ равна модулю вектора $\overrightarrow{CA}$: $|CA| = |\overrightarrow{CA}| = |\overrightarrow{EF}|$.

Данный треугольник $ABC$ является невырожденным (то есть его вершины $A$, $B$ и $C$ не лежат на одной прямой). Это следует из того, что векторы $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{MN}$ и $\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{PQ}$ по условию неколлинеарны.

Следовательно, мы доказали существование треугольника, стороны которого равны отрезкам $MN$, $PQ$ и $EF$.

Ответ: Существование треугольника доказано.

514. Докажите, что для параллелограмма $ABCD$ и произвольной точки $X$ выполняется равенство $\vec{XA} + \vec{XC} = \vec{XB} + \vec{XD}$.

Для доказательства данного равенства выполним преобразования. Перенесем векторы в уравнении $\vec{XA} + \vec{XC} = \vec{XB} + \vec{XD}$ таким образом, чтобы сгруппировать их по парам:

$\vec{XA} - \vec{XB} = \vec{XD} - \vec{XC}$

Воспользуемся правилом вычитания векторов. Для любых трех точек $O, P, Q$ справедливо равенство $\vec{OP} - \vec{OQ} = \vec{QP}$. Применим это правило к обеим частям нашего уравнения.

Для левой части равенства, где общим началом является точка $X$:

$\vec{XA} - \vec{XB} = \vec{BA}$

Для правой части равенства, где также общим началом является точка $X$:

$\vec{XD} - \vec{XC} = \vec{CD}$

Таким образом, исходное векторное равенство эквивалентно следующему равенству:

$\vec{BA} = \vec{CD}$

Теперь докажем, что равенство $\vec{BA} = \vec{CD}$ является верным для любого параллелограмма $ABCD$.

По определению параллелограмма, его противоположные стороны параллельны и равны. Это означает, что векторы, лежащие на этих сторонах, либо равны (если они сонаправлены), либо противоположны. В параллелограмме $ABCD$ стороны $AB$ и $DC$ параллельны и равны. Векторы $\vec{AB}$ и $\vec{DC}$, идущие от первой вершины ко второй, сонаправлены. Следовательно, они равны:

$\vec{AB} = \vec{DC}$

Вектор $\vec{BA}$ является противоположным вектору $\vec{AB}$, то есть $\vec{BA} = -\vec{AB}$.

Аналогично, вектор $\vec{CD}$ является противоположным вектору $\vec{DC}$, то есть $\vec{CD} = -\vec{DC}$.

Подставим эти соотношения в доказанное равенство $\vec{AB} = \vec{DC}$:

$(-\vec{BA}) = (-\vec{CD})$

Умножая обе части этого равенства на $-1$, получаем:

$\vec{BA} = \vec{CD}$

Мы показали, что равенство $\vec{BA} = \vec{CD}$ справедливо для параллелограмма $ABCD$. Поскольку это равенство было получено путем эквивалентных преобразований из исходного, то и исходное равенство $\vec{XA} + \vec{XC} = \vec{XB} + \vec{XD}$ также является верным. Это справедливо для любой точки $X$, так как ее положение сократилось в ходе преобразований.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство доказано.

выполняется равенство $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{XC} = \overrightarrow{XB} + \overrightarrow{AD}$.

515. Даны две точки A и B. Найдите геометрическое место точек X таких, что:

1) $|\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BX}| = |\overrightarrow{AB}|$;

2) $|\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BX}| = |\overrightarrow{BX}|$.

1) Рассмотрим равенство $|\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BX}| = |\overrightarrow{AB}|$. По правилу треугольника для сложения векторов, сумма векторов $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{BX}$ равна вектору $\overrightarrow{AX}$, то есть $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BX} = \overrightarrow{AX}$. Таким образом, исходное равенство можно переписать в виде $|\overrightarrow{AX}| = |\overrightarrow{AB}|$. Модуль вектора — это его длина, поэтому данное равенство означает, что расстояние от точки $X$ до точки $A$ равно постоянному расстоянию между точками $A$ и $B$. Геометрическим местом точек, находящихся на заданном расстоянии от данной точки, является окружность. Следовательно, искомое геометрическое место точек $X$ — это окружность с центром в точке $A$ и радиусом, равным длине отрезка $AB$.
Ответ: Окружность с центром в точке A и радиусом, равным длине отрезка AB.

2) Рассмотрим равенство $|\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BX}| = |\overrightarrow{BX}|$. Как и в предыдущем пункте, воспользуемся правилом сложения векторов: $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BX} = \overrightarrow{AX}$. Тогда равенство принимает вид $|\overrightarrow{AX}| = |\overrightarrow{BX}|$. Это означает, что расстояние от точки $X$ до точки $A$ равно расстоянию от точки $X$ до точки $B$, то есть точка $X$ равноудалена от точек $A$ и $B$. Множество всех точек плоскости, равноудаленных от двух данных точек, представляет собой серединный перпендикуляр к отрезку, соединяющему эти две точки.
Ответ: Серединный перпендикуляр к отрезку AB.

516. Гребец из точки $A$ переправляется через реку шириной $240 \text{ м}$ с постоянной собственной скоростью, направляя нос лодки перпендикулярно противоположному берегу. Через $4 \text{ мин}$ лодка причаливает к противоположному берегу в точке $C$, расположенной ниже по течению от точки $A$ на $48 \text{ м}$. Определите скорость течения и скорость лодки относительно берегов реки.

Для решения задачи разложим движение лодки на две независимые составляющие: движение перпендикулярно берегу (со скоростью лодки относительно воды, или собственной скоростью $v_{соб}$) и движение вдоль берега (со скоростью течения $v_{теч}$).

Исходные данные:
Ширина реки: $d = 240$ м.
Смещение лодки по течению: $s = 48$ м.
Время движения: $t = 4 \text{ мин} = 4 \times 60 \text{ с} = 240 \text{ с}$.

Скорость течения
Движение лодки вдоль берега на расстояние $s$ происходит под действием течения за время $t$. Скорость этого движения и есть скорость течения $v_{теч}$.
$s = v_{теч} \cdot t$
Выражаем скорость течения:
$v_{теч} = \frac{s}{t} = \frac{48 \text{ м}}{240 \text{ с}} = 0.2 \text{ м/с}$
Ответ: скорость течения равна 0.2 м/с.

Скорость лодки относительно берегов реки
Скорость лодки относительно берегов ($v_{отн}$) — это векторная сумма её собственной скорости и скорости течения: $\vec{v}_{отн} = \vec{v}_{соб} + \vec{v}_{теч}$.
По условию, лодка направлена перпендикулярно берегу, поэтому собственная скорость $v_{соб}$ отвечает за пересечение реки. Время $t$ и ширина $d$ связаны через эту скорость:
$d = v_{соб} \cdot t$
Отсюда находим собственную скорость лодки:
$v_{соб} = \frac{d}{t} = \frac{240 \text{ м}}{240 \text{ с}} = 1 \text{ м/с}$
Так как векторы $\vec{v}_{соб}$ и $\vec{v}_{теч}$ перпендикулярны, модуль результирующей скорости $v_{отн}$ находим по теореме Пифагора:
$v_{отн} = \sqrt{v_{соб}^2 + v_{теч}^2} = \sqrt{(1 \text{ м/с})^2 + (0.2 \text{ м/с})^2} = \sqrt{1 + 0.04} = \sqrt{1.04} \text{ м/с}$
Вычислим приближенное значение: $v_{отн} \approx 1.02 \text{ м/с}$.
Ответ: скорость лодки относительно берегов реки равна $\approx 1.02$ м/с.

517. Катер из точки А переправляется через реку шириной 300 м с постоянной собственной скоростью. Через 100 с катер причаливает к противоположному берегу в точке В. Прямая АВ перпендикулярна параллельным берегам реки. Скорость течения реки $\sqrt{3}$ м/с. Под каким углом к берегу реки был направлен нос катера?

Для решения этой задачи воспользуемся принципом сложения скоростей. Результирующая скорость катера относительно берега ($\vec{v}_{рез}$) является векторной суммой его собственной скорости относительно воды ($\vec{v}_{кат}$) и скорости течения реки ($\vec{v}_{теч}$).

$ \vec{v}_{рез} = \vec{v}_{кат} + \vec{v}_{теч} $

Введем систему координат: ось OY направим перпендикулярно берегам (от A к B), а ось OX — вдоль берега по направлению течения.

Согласно условию, катер пересекает реку шириной $d = 300$ м за время $t = 100$ с, двигаясь по прямой AB, перпендикулярной берегам. Это означает, что вектор результирующей скорости $\vec{v}_{рез}$ направлен строго перпендикулярно берегу, то есть вдоль оси OY. Найдем модуль результирующей скорости:$ v_{рез} = \frac{d}{t} = \frac{300 \text{ м}}{100 \text{ с}} = 3 \text{ м/с} $

Скорость течения $\vec{v}_{теч}$ направлена вдоль берега (вдоль оси OX), и ее модуль равен $v_{теч} = \sqrt{3}$ м/с.

Чтобы катер двигался строго перпендикулярно берегу, его собственная скорость $\vec{v}_{кат}$ должна быть направлена под некоторым углом против течения. Компонента скорости катера, направленная против течения, должна компенсировать скорость течения. Векторы скоростей $\vec{v}_{рез}$, $\vec{v}_{теч}$ и $\vec{v}_{кат}$ образуют прямоугольный треугольник, где:

• катет, перпендикулярный берегу, — это модуль результирующей скорости $v_{рез}$;
• катет, параллельный берегу, — это модуль скорости течения $v_{теч}$;
• гипотенуза — это модуль собственной скорости катера $v_{кат}$.

Искомый угол $\alpha$ — это угол между направлением носа катера (вектором $\vec{v}_{кат}$) и линией берега. В треугольнике скоростей это угол, противолежащий катету $v_{рез}$.

Мы можем найти тангенс этого угла как отношение противолежащего катета ($v_{рез}$) к прилежащему катету ($v_{теч}$):$ \tan(\alpha) = \frac{v_{рез}}{v_{теч}} $

Подставим известные значения в формулу:$ \tan(\alpha) = \frac{3}{\sqrt{3}} = \frac{(\sqrt{3})^2}{\sqrt{3}} = \sqrt{3} $

Найдем угол $\alpha$, тангенс которого равен $\sqrt{3}$:$ \alpha = \arctan(\sqrt{3}) = 60^\circ $

Следовательно, нос катера был направлен под углом $60^\circ$ к берегу против течения.
Ответ: $60^\circ$.

518. Медианы треугольника $ABC$ пересекаются в точке $M$. Докажите, что

$\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} = \vec{0}$.

Пусть $A, B, C$ — вершины треугольника, а $M$ — точка пересечения его медиан (центроид). Выберем произвольную точку $O$ в качестве начала отсчета (начала координат). Тогда положение любой точки $X$ можно задать ее радиус-вектором $\vec{OX}$.

Положение точки $M$, которая является центроидом треугольника $ABC$, определяется как среднее арифметическое радиус-векторов его вершин:$$ \vec{OM} = \frac{1}{3}(\vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC}) $$Это фундаментальное свойство центроида.

Теперь выразим векторы $\vec{MA}$, $\vec{MB}$ и $\vec{MC}$ через радиус-векторы. По определению разности векторов:$$ \vec{MA} = \vec{OA} - \vec{OM} $$$$ \vec{MB} = \vec{OB} - \vec{OM} $$$$ \vec{MC} = \vec{OC} - \vec{OM} $$

Найдем сумму этих векторов, которую требуется доказать равной нулевому вектору:$$ \vec{MA} + \vec{MB} + \vec{MC} = (\vec{OA} - \vec{OM}) + (\vec{OB} - \vec{OM}) + (\vec{OC} - \vec{OM}) $$

Сгруппируем слагаемые в правой части равенства:$$ \vec{MA} + \vec{MB} + \vec{MC} = (\vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC}) - 3\vec{OM} $$

Теперь подставим в полученное выражение формулу для радиус-вектора центроида $\vec{OM}$:$$ \vec{MA} + \vec{MB} + \vec{MC} = (\vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC}) - 3 \cdot \frac{1}{3}(\vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC}) $$$$ \vec{MA} + \vec{MB} + \vec{MC} = (\vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC}) - (\vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC}) $$$$ \vec{MA} + \vec{MB} + \vec{MC} = \vec{0} $$

Таким образом, равенство доказано.

Ответ: равенство $\vec{MA} + \vec{MB} + \vec{MC} = \vec{0}$ доказано.

519. На сторонах треугольника $ABC$ во внешнюю сторону построены параллелограммы $AA_1B_1B$, $BB_2C_1C$, $CC_2A_2A$. Прямые $A_1A_2$, $B_1B_2$, $C_1C_2$ попарно непараллельны. Докажите, что существует треугольник, стороны которого равны отрезкам $A_1A_2$, $B_1B_2$ и $C_1C_2$.

Для доказательства существования треугольника со сторонами, равными отрезкам $A_1A_2$, $B_1B_2$ и $C_1C_2$, достаточно показать, что векторы, соответствующие этим отрезкам, образуют замкнутую ломаную, то есть их сумма (с определённой ориентацией) равна нулевому вектору. Воспользуемся методом векторов.

Пусть $O$ — произвольная точка в пространстве (начало координат). Обозначим радиус-векторы точек $A, B, C, A_1, B_1, \dots, C_2$ как $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}, \vec{a_1}, \vec{b_1}, \dots, \vec{c_2}$ соответственно. Вектор, соответствующий отрезку $XY$, будет равен $\vec{XY} = \vec{y} - \vec{x}$.

Рассмотрим условия, заданные параллелограммами. Четырехугольник $PQRS$ является параллелограммом тогда и только тогда, когда сумма радиус-векторов его противоположных вершин равна, то есть $\vec{p} + \vec{r} = \vec{q} + \vec{s}$. Применим это свойство к данным параллелограммам, предполагая, что вершины перечислены в порядке обхода.

1. Для параллелограмма $AA_1B_1B$ противоположными вершинами являются $A, B_1$ и $A_1, B$. Следовательно, выполняется равенство:
$\vec{a} + \vec{b_1} = \vec{a_1} + \vec{b}$ (1)

2. Для параллелограмма $BB_2C_1C$ противоположными вершинами являются $B, C_1$ и $B_2, C$. Следовательно:
$\vec{b} + \vec{c_1} = \vec{b_2} + \vec{c}$ (2)

3. Для параллелограмма $CC_2A_2A$ противоположными вершинами являются $C, A_2$ и $C_2, A$. Следовательно:
$\vec{c} + \vec{a_2} = \vec{c_2} + \vec{a}$ (3)

Сложим левые и правые части этих трех векторных равенств:

$(\vec{a} + \vec{b_1}) + (\vec{b} + \vec{c_1}) + (\vec{c} + \vec{a_2}) = (\vec{a_1} + \vec{b}) + (\vec{b_2} + \vec{c}) + (\vec{c_2} + \vec{a})$

Сгруппируем слагаемые:

$(\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}) + (\vec{a_2} + \vec{b_1} + \vec{c_1}) = (\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}) + (\vec{a_1} + \vec{b_2} + \vec{c_2})$

Вычитая из обеих частей вектор $(\vec{a} + \vec{b} + \vec{c})$, получаем:

$\vec{a_2} + \vec{b_1} + \vec{c_1} = \vec{a_1} + \vec{b_2} + \vec{c_2}$

Перенесем векторы с одинаковыми буквенными индексами в одну часть равенства:

$\vec{a_2} - \vec{a_1} = (\vec{b_2} - \vec{b_1}) + (\vec{c_2} - \vec{c_1})$

Это равенство можно записать в терминах векторов, соответствующих нужным нам отрезкам:

$\vec{A_1A_2} = \vec{B_1B_2} + \vec{C_1C_2}$

Полученное векторное равенство означает, что вектор $\vec{A_1A_2}$ является суммой векторов $\vec{B_1B_2}$ и $\vec{C_1C_2}$. Это является условием того, что три вектора могут образовать треугольник. В частности, если мы рассмотрим векторы $\vec{A_1A_2}$, $-\vec{B_1B_2} = \vec{B_2B_1}$ и $-\vec{C_1C_2} = \vec{C_2C_1}$, то их сумма будет равна нулевому вектору:

$\vec{A_1A_2} - \vec{B_1B_2} - \vec{C_1C_2} = \vec{0} \implies \vec{A_1A_2} + \vec{B_2B_1} + \vec{C_2C_1} = \vec{0}$

Это означает, что если отложить эти три вектора последовательно друг за другом, начало первого вектора совпадет с концом последнего, образуя замкнутую ломаную — треугольник. Стороны этого треугольника будут равны длинам (модулям) этих векторов: $|\vec{A_1A_2}| = A_1A_2$, $|\vec{B_2B_1}| = B_1B_2$ и $|\vec{C_2C_1}| = C_1C_2$.

Поскольку по условию прямые $A_1A_2, B_1B_2, C_1C_2$ попарно непараллельны, соответствующие им векторы не коллинеарны, а значит, треугольник невырожденный.

Таким образом, существование треугольника, стороны которого равны отрезкам $A_1A_2$, $B_1B_2$ и $C_1C_2$, доказано.

Ответ: Доказательство приведено выше. Существование такого треугольника следует из того, что сумма векторов, построенных на двух из этих отрезков (с определенной ориентацией), равна вектору, построенному на третьем отрезке.

520. В треугольник $ABC$ вписан параллелограмм $CDMK$ так, что угол $C$ у них общий, а точки $D$, $M$ и $K$ принадлежат соответственно сторонам $AC$, $AB$ и $BC$ треугольника. Найдите стороны параллелограмма $CDMK$, если его периметр равен $20\text{ см}$, $AC = 12\text{ см}$, $BC = 9\text{ см}$.

Пусть стороны параллелограмма $CDMK$ равны $CD = MK = x$ и $CK = DM = y$.

Периметр параллелограмма $P_{CDMK}$ вычисляется по формуле $P = 2(a+b)$, где $a$ и $b$ — смежные стороны. В нашем случае, $P_{CDMK} = 2(CD + CK)$.

По условию, периметр равен 20 см. Составим первое уравнение:

$2(x + y) = 20$

$x + y = 10$

Так как $CDMK$ — параллелограмм, его противоположные стороны параллельны. В частности, сторона $MK$ параллельна стороне $CD$. Поскольку точка $D$ лежит на стороне $AC$ треугольника, то $MK \parallel AC$.

Рассмотрим треугольники $\triangle MBK$ и $\triangle ABC$.

Угол $\angle B$ у них общий.

Углы $\angle BKM$ и $\angle BCA$ равны как соответственные углы при параллельных прямых $MK$ и $AC$ и секущей $BC$.

Следовательно, треугольник $\triangle MBK$ подобен треугольнику $\triangle ABC$ по двум углам ($\triangle MBK \sim \triangle ABC$).

Из подобия треугольников следует пропорциональность их сторон:

$\frac{MK}{AC} = \frac{BK}{BC}$

Нам известны длины сторон треугольника $AC = 12$ см и $BC = 9$ см. Сторона параллелограмма $MK = x$. Длина отрезка $BK$ может быть выражена через сторону $BC$ и сторону параллелограмма $CK$: $BK = BC - CK = 9 - y$.

Подставим известные значения в пропорцию:

$\frac{x}{12} = \frac{9 - y}{9}$

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными:

$\begin{cases} x + y = 10 \\ \frac{x}{12} = \frac{9-y}{9} \end{cases}$

Из первого уравнения выразим $y$: $y = 10 - x$.

Подставим это выражение во второе уравнение:

$\frac{x}{12} = \frac{9 - (10 - x)}{9}$

$\frac{x}{12} = \frac{9 - 10 + x}{9}$

$\frac{x}{12} = \frac{x - 1}{9}$

Используя основное свойство пропорции, получим:

$9x = 12(x - 1)$

$9x = 12x - 12$

$12x - 9x = 12$

$3x = 12$

$x = 4$

Теперь найдем $y$:

$y = 10 - x = 10 - 4 = 6$

Таким образом, стороны параллелограмма равны $CD = MK = 4$ см и $CK = DM = 6$ см.

Ответ: стороны параллелограмма равны 4 см и 6 см.

521. Докажите, что площадь правильного шестиугольника, вписанного в окружность, составляет $\frac{3}{4}$ площади правильного шестиугольника, описанного около этой окружности.

Пусть $R$ — радиус данной окружности. Обозначим площадь правильного шестиугольника, вписанного в эту окружность, как $S_{вп}$, а площадь правильного шестиугольника, описанного около этой окружности, как $S_{оп}$.

Правильный шестиугольник можно разбить на 6 одинаковых равносторонних треугольников с общей вершиной в центре шестиугольника.

Для вписанного шестиугольника сторона каждого из этих равносторонних треугольников равна радиусу описанной окружности, то есть $R$. Площадь одного такого треугольника вычисляется по формуле площади равностороннего треугольника со стороной $a$: $S_{\triangle} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$. В нашем случае $a=R$, поэтому площадь одного треугольника равна $S_1 = \frac{R^2\sqrt{3}}{4}$.
Следовательно, площадь всего вписанного шестиугольника:
$S_{вп} = 6 \cdot S_1 = 6 \cdot \frac{R^2\sqrt{3}}{4} = \frac{3R^2\sqrt{3}}{2}$.

Для описанного шестиугольника радиус вписанной окружности $R$ является высотой (апофемой) каждого из 6 составляющих его равносторонних треугольников. Пусть сторона такого треугольника (и самого описанного шестиугольника) равна $b$. Высота $h$ равностороннего треугольника со стороной $b$ вычисляется как $h = \frac{b\sqrt{3}}{2}$.
В нашем случае $h=R$, поэтому $R = \frac{b\sqrt{3}}{2}$. Отсюда находим сторону описанного шестиугольника: $b = \frac{2R}{\sqrt{3}}$.
Площадь одного треугольника, из которых состоит описанный шестиугольник, равна половине произведения его основания на высоту: $S_2 = \frac{1}{2} \cdot b \cdot R = \frac{1}{2} \cdot \frac{2R}{\sqrt{3}} \cdot R = \frac{R^2}{\sqrt{3}}$.
Следовательно, площадь всего описанного шестиугольника:
$S_{оп} = 6 \cdot S_2 = 6 \cdot \frac{R^2}{\sqrt{3}} = \frac{6R^2\sqrt{3}}{3} = 2R^2\sqrt{3}$.

Теперь найдем отношение площадей $S_{вп}$ и $S_{оп}$:
$\frac{S_{вп}}{S_{оп}} = \frac{\frac{3R^2\sqrt{3}}{2}}{2R^2\sqrt{3}} = \frac{3R^2\sqrt{3}}{2 \cdot 2R^2\sqrt{3}} = \frac{3R^2\sqrt{3}}{4R^2\sqrt{3}} = \frac{3}{4}$.
Это доказывает, что площадь вписанного шестиугольника составляет $\frac{3}{4}$ площади описанного шестиугольника, то есть $S_{вп} = \frac{3}{4}S_{оп}$.

Ответ: Доказано, что площадь правильного шестиугольника, вписанного в окружность, составляет $\frac{3}{4}$ площади правильного шестиугольника, описанного около этой окружности.