Номер 515, страница 123 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

выполняется равенство $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{XC} = \overrightarrow{XB} + \overrightarrow{AD}$.

515. Даны две точки A и B. Найдите геометрическое место точек X таких, что:

1) $|\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BX}| = |\overrightarrow{AB}|$;

2) $|\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BX}| = |\overrightarrow{BX}|$.

1) Рассмотрим равенство $|\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BX}| = |\overrightarrow{AB}|$. По правилу треугольника для сложения векторов, сумма векторов $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{BX}$ равна вектору $\overrightarrow{AX}$, то есть $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BX} = \overrightarrow{AX}$. Таким образом, исходное равенство можно переписать в виде $|\overrightarrow{AX}| = |\overrightarrow{AB}|$. Модуль вектора — это его длина, поэтому данное равенство означает, что расстояние от точки $X$ до точки $A$ равно постоянному расстоянию между точками $A$ и $B$. Геометрическим местом точек, находящихся на заданном расстоянии от данной точки, является окружность. Следовательно, искомое геометрическое место точек $X$ — это окружность с центром в точке $A$ и радиусом, равным длине отрезка $AB$.
Ответ: Окружность с центром в точке A и радиусом, равным длине отрезка AB.

2) Рассмотрим равенство $|\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BX}| = |\overrightarrow{BX}|$. Как и в предыдущем пункте, воспользуемся правилом сложения векторов: $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BX} = \overrightarrow{AX}$. Тогда равенство принимает вид $|\overrightarrow{AX}| = |\overrightarrow{BX}|$. Это означает, что расстояние от точки $X$ до точки $A$ равно расстоянию от точки $X$ до точки $B$, то есть точка $X$ равноудалена от точек $A$ и $B$. Множество всех точек плоскости, равноудаленных от двух данных точек, представляет собой серединный перпендикуляр к отрезку, соединяющему эти две точки.
Ответ: Серединный перпендикуляр к отрезку AB.